1. **Énoncé du problème :** Établir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse $x$ du centre $G$ d'un oscillateur harmonique soumis à la deuxième loi de Newton. 2. **Formule utilisée :** La deuxième loi de Newton s'écrit $$m \frac{d^2x}{dt^2} = -Kx$$ où $m$ est la masse, $K$ la constante de raideur du ressort, et $x$ la position. 3. **Équation différentielle :** $$m \frac{d^2x}{dt^2} + Kx = 0$$ 4. **Solution générale :** La solution est de la forme $$x(t) = X_m \cos(2\pi N_0 t + \varphi)$$ où $N_0$ est la fréquence propre. 5. **Détermination de $N_0$ :** L'équation caractéristique est $$m r^2 + K = 0 \Rightarrow r^2 = -\frac{K}{m}$$ Donc $$r = \pm i \sqrt{\frac{K}{m}}$$ La fréquence propre est $$N_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$$ 6. **Détermination de $\varphi$ :** La phase $\varphi$ dépend des conditions initiales. Si $x(0) = X_m$ et $v(0) = 0$, alors $\varphi = 0$. 7. **Vitesse $v_1$ au premier passage par la position d'équilibre :** La vitesse est la dérivée de $x(t)$ : $$v(t) = -X_m 2\pi N_0 \sin(2\pi N_0 t + \varphi)$$ Au premier passage par l'équilibre, $x=0$ donc $2\pi N_0 t + \varphi = \frac{\pi}{2}$. Donc $$v_1 = -X_m 2\pi N_0 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -X_m 2\pi N_0$$ La valeur absolue est $$v_1 = 2\pi N_0 X_m$$