1. Énoncé du problème : Un avion descend en piqué à 53° par rapport à la verticale, une pièce tombe de l'avion à une altitude de 730 m et touche le sol 5 secondes plus tard. 2. Hypothèses et axes : On choisit un repère avec l'axe vertical $y$ orienté vers le haut et l'axe horizontal $x$ perpendiculaire à la verticale. 3. Données : - Angle de descente par rapport à la verticale : $\theta = 53^\circ$ - Altitude initiale : $y_0 = 730$ m - Temps de chute : $t = 5$ s - Accélération due à la gravité : $g = 9{,}81$ m/s$^2$ 4. Vitesse initiale de la pièce : Comme la pièce tombe de l'avion en piqué, sa vitesse initiale a une composante selon $x$ et $y$. On note $v_0$ la vitesse initiale de la pièce (magnitude inconnue). 5. Équations horaires de la position : - Sur l'axe $x$ (horizontal) : $$x(t) = v_0 \sin(\theta) t$$ - Sur l'axe $y$ (vertical) : $$y(t) = y_0 - v_0 \cos(\theta) t - \frac{1}{2} g t^2$$ 6. Équations horaires de la vitesse : - Sur l'axe $x$ : $$v_x(t) = v_0 \sin(\theta)$$ - Sur l'axe $y$ : $$v_y(t) = -v_0 \cos(\theta) - g t$$ 7. Trouvons $v_0$ en utilisant la condition que la pièce touche le sol à $t=5$ s, donc $y(5) = 0$ : $$0 = 730 - v_0 \cos(53^\circ) \times 5 - \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times 5^2$$ $$0 = 730 - 5 v_0 \cos(53^\circ) - 122{,}625$$ $$5 v_0 \cos(53^\circ) = 730 - 122{,}625 = 607{,}375$$ $$v_0 = \frac{607{,}375}{5 \cos(53^\circ)}$$ Calculons $\cos(53^\circ) \approx 0{,}6018$ : $$v_0 = \frac{607{,}375}{5 \times 0{,}6018} = \frac{607{,}375}{3{,}009} \approx 201{,}8 \text{ m/s}$$ 8. Résumé final : - Position : $$x(t) = 201{,}8 \sin(53^\circ) t \approx 201{,}8 \times 0{,}7986 \times t = 161{,}2 t$$ $$y(t) = 730 - 201{,}8 \cos(53^\circ) t - 4{,}905 t^2 = 730 - 201{,}8 \times 0{,}6018 t - 4{,}905 t^2 = 730 - 121{,}5 t - 4{,}905 t^2$$ - Vitesse : $$v_x(t) = 201{,}8 \sin(53^\circ) = 161{,}2 \text{ m/s}$$ $$v_y(t) = -201{,}8 \cos(53^\circ) - 9{,}81 t = -121{,}5 - 9{,}81 t$$