Problème 2 : 1. Équilibre des forces : Le système est à l'équilibre si la somme des forces est nulle : $$\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}$$ Soit en composantes : $$5 + (-3) + a = 0 \Rightarrow 2 + a = 0 \Rightarrow a = -2$$ $$2 + 4 + b = 0 \Rightarrow 6 + b = 0 \Rightarrow b = -6$$ 2. Normes des forces : $$||\vec{F_1}|| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$$ $$||\vec{F_2}|| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$||\vec{F_3}|| = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$ 3. Commentaire sur l'équilibre statique : Les forces sont équilibrées car leur somme vectorielle est nulle, ce qui signifie que le nœud bois est en équilibre statique. Problème 3 : 1. Angle entre les deux poutres : Vecteurs : $$\vec{u} = (3,1,0), \quad \vec{v} = (1,2,2)$$ Formule de l'angle $\theta$ entre deux vecteurs : $$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$$ Calcul du produit scalaire : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + 1 \times 2 + 0 \times 2 = 3 + 2 + 0 = 5$$ Normes : $$||\vec{u}|| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$ $$||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ Donc : $$\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \times 3} = \frac{5}{3\sqrt{10}}$$ Angle : $$\theta = \arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{10}}\right)$$ 2. Aire du panneau formé par les deux vecteurs : Vecteurs : $$\vec{u} = (2,1,0), \quad \vec{v} = (1,3,1)$$ L'aire est la norme du produit vectoriel : $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (1 \times 1 - 0 \times 3)\vec{i} - (2 \times 1 - 0 \times 1)\vec{j} + (2 \times 3 - 1 \times 1)\vec{k} = (1)\vec{i} - (2)\vec{j} + (6 - 1)\vec{k} = (1, -2, 5)$$ Norme : $$||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$$ Donc l'aire du panneau est $$\sqrt{30}$$.