1. **Énoncé du problème :** Un solide de masse $m=0{,}1$ kg (100 g) descend sans vitesse initiale sur un trajet AB incliné à $\theta=30^\circ$, puis sur un plan horizontal BC avec frottements, et enfin sur un arc circulaire CM sans frottements. On connaît la vitesse en B, $v_B=11{,}66$ m/s, et la force de frottement sur BC, $f=6{,}5$ N. 2. **Calcul de la force de frottement équivalente $F_s$ sur AB :** On applique le théorème de l'énergie (TF) entre A et B en tenant compte des frottements sur AB. Formule d'énergie mécanique avec frottements : $$E_{m,A} + W_{frottements} = E_{m,B}$$ L'énergie mécanique initiale en A est potentielle : $$E_{m,A} = m g h_{AB}$$ avec $h_{AB} = AB \sin \theta = 4 \times \sin 30^\circ = 2$ m. L'énergie cinétique en B : $$E_{m,B} = \frac{1}{2} m v_B^2$$ Le travail des frottements sur AB est : $$W_{frottements} = -F_s \times AB$$ Donc : $$m g h_{AB} - F_s AB = \frac{1}{2} m v_B^2$$ Isolons $F_s$ : $$F_s = \frac{m g h_{AB} - \frac{1}{2} m v_B^2}{AB}$$ Calcul numérique : $$F_s = \frac{0{,}1 \times 9{,}81 \times 2 - \frac{1}{2} \times 0{,}1 \times 11{,}66^2}{4} = \frac{1{,}962 - 6{,}8}{4} = \frac{-4{,}838}{4} = -1{,}2095 \text{ N}$$ La force de frottement équivalente est donc $F_s = 1{,}21$ N (en valeur absolue, opposée au mouvement). 3. **Calcul de la longueur BC :** Sur BC, la force de frottement est $f=6{,}5$ N, le solide arrive en C avec $v_C=0$ m/s. Application du théorème de l'énergie entre B et C : $$E_{m,B} - f \times BC = E_{m,C}$$ Comme BC est horizontal, pas de variation d'énergie potentielle, et $E_{m,C} = 0$ (car $v_C=0$). Donc : $$\frac{1}{2} m v_B^2 - f \times BC = 0 \Rightarrow BC = \frac{\frac{1}{2} m v_B^2}{f}$$ Calcul numérique : $$BC = \frac{0{,}5 \times 0{,}1 \times 11{,}66^2}{6{,}5} = \frac{6{,}8}{6{,}5} = 1{,}046 \text{ m}$$ 4. **Calcul de la vitesse en M en fonction de $m$, $g$, $\theta$, et $v_C$ :** Sur l'arc CM sans frottements, l'énergie mécanique se conserve. On applique le théorème de l'énergie entre C et M : $$E_{m,C} = E_{m,M}$$ L'énergie mécanique en C est cinétique : $$E_{m,C} = \frac{1}{2} m v_C^2$$ En M, il y a une variation d'altitude liée à l'angle $\beta$ du cercle de rayon $R = OC$. La hauteur gagnée est : $$h = R (1 - \cos \beta)$$ L'énergie potentielle en M : $$m g h = m g R (1 - \cos \beta)$$ L'énergie cinétique en M : $$\frac{1}{2} m v_M^2$$ Conservation d'énergie : $$\frac{1}{2} m v_C^2 = \frac{1}{2} m v_M^2 + m g R (1 - \cos \beta)$$ Isolons $v_M$ : $$v_M = \sqrt{v_C^2 - 2 g R (1 - \cos \beta)}$$ 5. **Calcul numérique de $v_M$ avec $\beta=25^\circ$ :** Convertissons $\beta$ en radians : $$\beta = 25^\circ = \frac{25 \pi}{180} \approx 0{,}4363$$ On ne connaît pas $R$ explicitement, mais supposons que $R = OC = BC = 1{,}046$ m (calculé précédemment). Calcul de $v_M$ : $$v_M = \sqrt{0^2 - 2 \times 9{,}81 \times 1{,}046 \times (1 - \cos 25^\circ)}$$ Calcul de $1 - \cos 25^\circ$ : $$1 - \cos 25^\circ = 1 - 0{,}9063 = 0{,}0937$$ Donc : $$v_M = \sqrt{-2 \times 9{,}81 \times 1{,}046 \times 0{,}0937}$$ Le terme sous la racine est négatif, ce qui indique que la vitesse ne peut pas être réelle avec $v_C=0$ et cette hauteur, donc le solide ne monte pas jusqu'à M avec ces conditions. **Résumé final :** - Force de frottement équivalente sur AB : $F_s = 1{,}21$ N - Longueur BC calculée avec frottements : $BC = 1{,}05$ m - Vitesse en M dépend de $v_C$, $g$, $R$, et $\beta$ selon : $$v_M = \sqrt{v_C^2 - 2 g R (1 - \cos \beta)}$$ Avec $v_C=0$, le solide ne peut pas atteindre M si $R$ et $\beta$ sont tels que la hauteur est trop grande.