1. **Énoncé du problème :** On projette un objet verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 15 m/s. La hauteur $h(t)$ en mètres à $t$ secondes est donnée par $$h(t) = 50 + 15t - 4,9t^2.$$ Nous devons répondre à quatre questions : a) vitesse moyenne entre 2s et 4s b) vitesse à 1s c) hauteur maximale d) vitesse à l'impact au sol 2. **Formule de la vitesse moyenne :** La vitesse moyenne entre $t=a$ et $t=b$ est $$v_{moy} = \frac{h(b) - h(a)}{b - a}.$$ 3. **Calcul de la vitesse moyenne entre 2s et 4s :** Calculons $h(2)$ et $h(4)$ : $$h(2) = 50 + 15 \times 2 - 4,9 \times 2^2 = 50 + 30 - 19,6 = 60,4,$$ $$h(4) = 50 + 15 \times 4 - 4,9 \times 4^2 = 50 + 60 - 78,4 = 31,6.$$ Donc, $$v_{moy} = \frac{31,6 - 60,4}{4 - 2} = \frac{-28,8}{2} = -14,4 \, m/s.$$ 4. **Formule de la vitesse instantanée :** La vitesse instantanée est la dérivée de $h(t)$ : $$v(t) = h'(t) = \frac{d}{dt}(50 + 15t - 4,9t^2) = 15 - 9,8t.$$ 5. **Calcul de la vitesse à 1 seconde :** $$v(1) = 15 - 9,8 \times 1 = 15 - 9,8 = 5,2 \, m/s.$$ 6. **Hauteur maximale :** La hauteur maximale est atteinte quand la vitesse est nulle : $$0 = 15 - 9,8t \Rightarrow t = \frac{15}{9,8} \approx 1,53 \, s.$$ Calculons $h(1,53)$ : $$h(1,53) = 50 + 15 \times 1,53 - 4,9 \times (1,53)^2 = 50 + 22,95 - 11,47 = 61,48 \, m.$$ 7. **Vitesse à l'impact au sol :** L'objet touche le sol quand $h(t) = 0$ : $$0 = 50 + 15t - 4,9t^2 \Rightarrow 4,9t^2 - 15t - 50 = 0.$$ Utilisons la formule quadratique : $$t = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \times 4,9 \times (-50)}}{2 \times 4,9} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 980}}{9,8} = \frac{15 \pm \sqrt{1205}}{9,8}.$$ La racine positive est $$t = \frac{15 + 34,71}{9,8} = 5,07 \, s.$$ Calculons la vitesse à $t=5,07$ : $$v(5,07) = 15 - 9,8 \times 5,07 = 15 - 49,69 = -34,69 \, m/s.$$ La vitesse est négative car l'objet descend. **Réponses finales :** a) $-14,4$ m/s b) $5,2$ m/s c) $61,48$ m d) $-34,69$ m/s