1. **Énoncé du problème :** Calculer la position où la bille va tomber (portée) et la taille du panier (rayon) pour attraper la bille. 2. **Formule de la trajectoire :** La trajectoire d'un projectile lancé avec une vitesse initiale $v_0$ sous un angle $\theta$ est donnée par : $$y(x) = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta}$$ avec $g$ l'accélération due à la gravité. 3. **Portée (distance horizontale) :** La bille atterrit au sol, donc $y=0$. On résout : $$0 = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta}$$ 4. **Calcul de la portée $x = R$ :** Factorisons $x$ : $$x \left( \tan \theta - \frac{g x}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} \right) = 0$$ La solution $x=0$ correspond au point de départ. L'autre solution est : $$\tan \theta = \frac{g x}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} \Rightarrow x = \frac{2 v_0^2 \cos^2 \theta \tan \theta}{g}$$ 5. **Simplification avec $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ :** $$x = \frac{2 v_0^2 \cos^2 \theta \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{g} = \frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$$ 6. **Formule finale de la portée :** $$\boxed{R = \frac{v_0^2}{g} \sin 2\theta}$$ car $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$. 7. **Hauteur maximale $H$ :** $$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$$ 8. **Rayon du panier $r$ :** Pour attraper la bille malgré les incertitudes, le rayon $r$ doit couvrir la variation possible de la portée. Si $R_{min}$ et $R_{max}$ sont les portées extrêmes, alors : $$r = \frac{R_{max} - R_{min}}{2}$$ 9. **Schéma :** - Origine $O$ au sol. - Trajectoire parabolique $y(x)$. - Portée $R$ sur l'axe horizontal. - Panier centré en $X=R$ avec rayon $r$. Votre schéma est correct : il montre la trajectoire, la portée $X_{max}$, la hauteur $H$, et le panier avec rayon $r$ centré à $X$.