1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux charges fixes QA = 300 nC à l'origine (0,0) et QB = 150 nC en B (6,6 cm, 0). On cherche : A) Le potentiel électrique au point C (0, 7,7 cm). B) Le travail pour amener une charge QC = -470 nC de loin au point C. C) Le potentiel au point D (2,1 cm, 0) avec QC au point C. D) La vitesse de QC passant par D librement. 2. **Formule du potentiel électrique :** Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle Q à une distance r est $$V = \frac{kQ}{r}$$ avec $k = 8{,}99 \times 10^9 \ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$. Le potentiel total est la somme algébrique des potentiels de chaque charge. 3. **Conversion des unités :** Charges : $Q_A = 300 \times 10^{-9} C$, $Q_B = 150 \times 10^{-9} C$, $Q_C = -470 \times 10^{-9} C$. Distances en mètres : 1 cm = 0,01 m. --- ### A) Potentiel au point C (0, 7,7 cm) 4. Calcul des distances : - $r_{AC} = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0{,}077)^2} = 0{,}077$ m - $r_{BC} = \sqrt{(0-0{,}066)^2 + (0{,}077-0)^2} = \sqrt{0{,}066^2 + 0{,}077^2} = \sqrt{0{,}004356 + 0{,}005929} = \sqrt{0{,}010285} \approx 0{,}1014$ m 5. Potentiel total au point C : $$V_C = \frac{k Q_A}{r_{AC}} + \frac{k Q_B}{r_{BC}}$$ $$= 8{,}99 \times 10^9 \times \left(\frac{300 \times 10^{-9}}{0{,}077} + \frac{150 \times 10^{-9}}{0{,}1014}\right)$$ 6. Calcul intermédiaire : $$\frac{300 \times 10^{-9}}{0{,}077} = 3{,}8961 \times 10^{-6}$$ $$\frac{150 \times 10^{-9}}{0{,}1014} = 1{,}479 \times 10^{-6}$$ Somme = 5{,}3751 \times 10^{-6}$$ 7. Donc $$V_C = 8{,}99 \times 10^9 \times 5{,}3751 \times 10^{-6} = 48294 \ \mathrm{volts}$$ --- ### B) Travail pour amener QC au point C 8. Le travail $W$ pour amener une charge $Q_C$ dans un potentiel $V_C$ est $$W = Q_C V_C$$ 9. Avec $Q_C = -470 \times 10^{-9} C$ et $V_C = 48294 V$ : $$W = -470 \times 10^{-9} \times 48294 = -0{,}0227 \ \mathrm{J}$$ Le travail est négatif, ce qui signifie que le système libère de l'énergie (charge attirée). --- ### C) Potentiel au point D (2,1 cm, 0) avec QC au point C 10. Distances : - $r_{AD} = 0{,}021$ m (distance de l'origine à D) - $r_{BD} = |0{,}066 - 0{,}021| = 0{,}045$ m (distance entre B et D sur l'axe x) - $r_{CD} = \sqrt{(0{,}021 - 0)^2 + (0 - 0{,}077)^2} = \sqrt{0{,}000441 + 0{,}005929} = \sqrt{0{,}00637} \approx 0{,}0798$ m 11. Potentiel total au point D : $$V_D = \frac{k Q_A}{r_{AD}} + \frac{k Q_B}{r_{BD}} + \frac{k Q_C}{r_{CD}}$$ 12. Calculs intermédiaires : $$\frac{Q_A}{r_{AD}} = \frac{300 \times 10^{-9}}{0{,}021} = 1{,}4286 \times 10^{-5}$$ $$\frac{Q_B}{r_{BD}} = \frac{150 \times 10^{-9}}{0{,}045} = 3{,}3333 \times 10^{-6}$$ $$\frac{Q_C}{r_{CD}} = \frac{-470 \times 10^{-9}}{0{,}0798} = -5{,}89 \times 10^{-6}$$ Somme = 1{,}4286 \times 10^{-5} + 3{,}3333 \times 10^{-6} - 5{,}89 \times 10^{-6} = 1{,}172 \times 10^{-5}$$ 13. Donc $$V_D = 8{,}99 \times 10^9 \times 1{,}172 \times 10^{-5} = 105300 \ \mathrm{volts}$$ --- ### D) Vitesse de QC passant par D 14. L'énergie potentielle électrique perdue se convertit en énergie cinétique : $$W = \Delta E_c = \frac{1}{2} m v^2$$ 15. Le travail effectué par le champ électrique entre C et D est $$W = Q_C (V_D - V_C)$$ 16. Calcul de $\Delta V = V_D - V_C = 105300 - 48294 = 57006$ volts 17. Masse de QC : $m = 380$ mg = $380 \times 10^{-6}$ kg = $3{,}8 \times 10^{-4}$ kg 18. Travail : $$W = -470 \times 10^{-9} \times 57006 = -0{,}0268 \ \mathrm{J}$$ Le travail est négatif, donc QC gagne de l'énergie cinétique (car charge négative va vers potentiel plus élevé). 19. Énergie cinétique : $$\frac{1}{2} m v^2 = -W$$ $$v = \sqrt{\frac{2 (-W)}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}0268}{3{,}8 \times 10^{-4}}} = \sqrt{141} = 11{,}87 \ \mathrm{m/s}$$ --- **Réponses finales :** - A) $V_C \approx 4,83 \times 10^4$ volts - B) $W \approx -0,0227$ joules - C) $V_D \approx 1,05 \times 10^5$ volts - D) $v \approx 11,9$ m/s