1. Énoncé du problème : On modélise la pression atmosphérique $u_n$ à l'altitude $n$ mètres par la relation $u_n = u_0 - 0.11n$ avec $u_0 = 1000$ hPa. 2. Justification de la formule : La pression diminue de 0.11 hPa par mètre, donc pour $n$ mètres, la pression diminue de $0.11n$ hPa. Ainsi, $u_n = 1000 - 0.11n$. 3. Trouver l'altitude où la pression est inférieure ou égale à 950 hPa : $$u_n \leq 950 \Rightarrow 1000 - 0.11n \leq 950$$ $$\Rightarrow -0.11n \leq -50$$ $$\Rightarrow \cancel{-0.11}n \geq \cancel{-50} \text{ (en multipliant par -1, on inverse l'inégalité)}$$ $$0.11n \geq 50$$ $$n \geq \frac{50}{0.11} \approx 454.55$$ Donc, à partir de 455 mètres, la pression est inférieure ou égale à 950 hPa. 4. Pour la fonction $f(x) = C e^{-0.12x}$ avec $x$ en kilomètres, on sait que $f(0) = C = u_0 = 1000$ hPa. 5. Montrons que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$ : La dérivée est $$f'(x) = C \times (-0.12) e^{-0.12x} = -0.12 C e^{-0.12x}$$ Comme $C > 0$ et $e^{-0.12x} > 0$, on a $f'(x) < 0$ pour tout $x \geq 0$, donc $f$ est décroissante. 6. Montrons que la suite $v_n = f(n)$ est géométrique : $$v_n = C e^{-0.12 n}$$ $$v_{n+1} = C e^{-0.12 (n+1)} = C e^{-0.12 n} e^{-0.12} = v_n \times e^{-0.12}$$ Donc, la raison est $q = e^{-0.12}$, la suite est géométrique. 7. Trouver l'altitude $x$ (en km) telle que $$f(x) < 1000 e^{-0.36}$$ $$C e^{-0.12 x} < 1000 e^{-0.36}$$ $$1000 e^{-0.12 x} < 1000 e^{-0.36}$$ $$e^{-0.12 x} < e^{-0.36}$$ $$-0.12 x < -0.36$$ $$x > \frac{0.36}{0.12} = 3$$ Donc, à partir de 3 km d'altitude, la pression est inférieure à environ 700 hPa.