1. **Énoncé du problème :** On considère la pression atmosphérique $u_n$ à l'altitude $n$ mètres, avec $u_0=1000$ hPa et la règle que la pression diminue de 0.11 hPa par mètre. 2. **Justification de la formule :** La pression diminue de 0.11 hPa par mètre, donc pour $n$ mètres, la pression diminue de $0.11n$ hPa. On a donc $$u_n = u_0 - 0.11 n = 1000 - 0.11 n$$ 3. **Trouver l'altitude où $u_n \leq 950$ hPa :** On résout $$1000 - 0.11 n \leq 950$$ $$1000 - 950 \leq 0.11 n$$ $$50 \leq 0.11 n$$ $$n \geq \frac{50}{0.11}$$ $$n \geq 454.54$$ Donc, à partir de 455 m, la pression est inférieure ou égale à 950 hPa. --- 4. **Calcul de la constante $C$ dans $f(x) = C e^{-0.12 x}$ avec $x$ en km :** Au niveau de la mer ($x=0$ km), la pression est $1000$ hPa. Donc $$f(0) = C e^{-0.12 \times 0} = C = 1000$$ Ainsi, $$C = 1000$$. --- 5. **Montrer que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$ :** La dérivée de $f$ est $$f'(x) = C \times (-0.12) e^{-0.12 x} = -0.12 C e^{-0.12 x}$$ Comme $C > 0$ et $e^{-0.12 x} > 0$ pour tout $x$, on a $$f'(x) < 0$$ Donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+$. --- 6. **Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique :** On pose $v_n = f(n) = 1000 e^{-0.12 n}$. Le rapport entre deux termes consécutifs est $$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{1000 e^{-0.12 (n+1)}}{1000 e^{-0.12 n}} = e^{-0.12}$$ Ce rapport est constant, donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = e^{-0.12}$. --- 7. **Trouver l'altitude où la pression est inférieure à $1000 e^{-0.36}$ :** On cherche $n$ tel que $$f(n) < 1000 e^{-0.36}$$ $$1000 e^{-0.12 n} < 1000 e^{-0.36}$$ Divisons par 1000 : $$e^{-0.12 n} < e^{-0.36}$$ Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on a $$-0.12 n < -0.36$$ Multipliant par $-1$ et inversant l'inégalité : $$0.12 n > 0.36$$ $$n > \frac{0.36}{0.12} = 3$$ Donc, à partir de 3 km d'altitude, la pression est inférieure à environ 700 hPa. --- **Réponses finales :** - $u_n = 1000 - 0.11 n$ - Pression $\leq 950$ hPa à partir de $n = 455$ m - $C = 1000$ - $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$ - $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $e^{-0.12}$ - Pression $< 1000 e^{-0.36}$ à partir de $n = 3$ km