1. **Énoncé du problème :** On considère la pression atmosphérique $u_n$ à l'altitude $n$ mètres, avec $u_0=1000$ hPa et la règle simplifiée : la pression diminue de 0.11 hPa par mètre. 2. **Justification de la formule :** La pression diminue de 0.11 hPa par mètre, donc pour $n$ mètres d'altitude, la pression diminue de $0.11n$ hPa. On a donc : $$u_n = u_0 - 0.11 n = 1000 - 0.11 n$$ 3. **Trouver l'altitude où $u_n \leq 950$ hPa :** On résout : $$1000 - 0.11 n \leq 950$$ $$\Rightarrow -0.11 n \leq 950 - 1000 = -50$$ Divisons par $-0.11$ en inversant le sens de l'inégalité : $$n \geq \frac{50}{0.11}$$ $$n \geq 454.54$$ Donc, à partir de 455 m, la pression est inférieure ou égale à 950 hPa. 4. **Calcul de la constante $C$ dans $f(x) = C e^{-0.12 x}$ avec $x$ en km :** Au niveau de la mer ($x=0$ km), la pression est 1000 hPa, donc : $$f(0) = C e^{0} = C = 1000$$ Donc $C=1000$. 5. **Montrer que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$ :** Calculons la dérivée : $$f'(x) = 1000 \times (-0.12) e^{-0.12 x} = -120 e^{-0.12 x}$$ Comme $e^{-0.12 x} > 0$ pour tout $x$, $f'(x) < 0$ pour tout $x \geq 0$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+$. 6. **Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique avec $v_n = f(n)$ :** On a : $$v_n = 1000 e^{-0.12 n}$$ Calculons le rapport : $$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{1000 e^{-0.12 (n+1)}}{1000 e^{-0.12 n}} = e^{-0.12}$$ Le rapport est constant, donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = e^{-0.12}$. 7. **Trouver l'altitude où la pression est inférieure à $1000 e^{-0.36}$ (environ 700 hPa) :** On cherche $x$ tel que : $$f(x) < 1000 e^{-0.36}$$ $$1000 e^{-0.12 x} < 1000 e^{-0.36}$$ Divisons par 1000 : $$e^{-0.12 x} < e^{-0.36}$$ Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on a : $$-0.12 x < -0.36$$ $$x > \frac{0.36}{0.12} = 3$$ Donc, à partir de 3 km d'altitude, la pression est inférieure à environ 700 hPa.