1. **Énoncé du problème :** On considère la pression atmosphérique $u_n$ à l'altitude $n$ mètres, avec $u_0=1000$ hPa et la règle que la pression diminue de 0.11 hPa par mètre. 2. **Justification de la formule de $u_n$ :** La pression diminue de 0.11 hPa par mètre, donc pour $n$ mètres d'altitude, la pression diminue de $0.11n$ hPa. On a donc : $$u_n = u_0 - 0.11n = 1000 - 0.11n$$ 3. **Trouver l'altitude où la pression est inférieure ou égale à 950 hPa :** On cherche $n$ tel que : $$u_n \leq 950$$ $$1000 - 0.11n \leq 950$$ $$-0.11n \leq 950 - 1000$$ $$-0.11n \leq -50$$ Divisons par $-0.11$ en inversant le sens de l'inégalité : $$n \geq \frac{50}{0.11}$$ $$n \geq 454.545...$$ Donc l'altitude minimale est environ $455$ mètres. --- 4. **Fonction exponentielle $f$ :** $$f(x) = Ce^{-0.12x}$$ avec $x$ en kilomètres. 5. **Calcul de la constante $C$ :** Au niveau de la mer ($x=0$ km), la pression est $1000$ hPa, donc : $$f(0) = C e^{0} = C = 1000$$ Donc : $$C = 1000$$ 6. **Montrer que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$ :** Calculons la dérivée : $$f'(x) = C \times (-0.12) e^{-0.12x} = -0.12 C e^{-0.12x}$$ Comme $C=1000 > 0$ et $e^{-0.12x} > 0$ pour tout $x$, on a : $$f'(x) < 0$$ Donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+$. --- 7. **Suite $v_n = f(n)$ :** $$v_n = 1000 e^{-0.12 n}$$ On peut écrire : $$v_{n+1} = 1000 e^{-0.12 (n+1)} = 1000 e^{-0.12 n} e^{-0.12} = v_n \times e^{-0.12}$$ Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = e^{-0.12}$. --- 8. **Trouver l'altitude où la pression est inférieure à $1000 e^{-0.36}$ :** On cherche $n$ tel que : $$v_n < 1000 e^{-0.36}$$ $$1000 e^{-0.12 n} < 1000 e^{-0.36}$$ Divisons par 1000 : $$e^{-0.12 n} < e^{-0.36}$$ Comme l'exponentielle est strictement croissante, on a : $$-0.12 n < -0.36$$ Divisons par $-0.12$ en inversant l'inégalité : $$n > \frac{0.36}{0.12} = 3$$ Donc l'altitude minimale est $3$ kilomètres, soit $3000$ mètres. **Réponses finales :** - $u_n = 1000 - 0.11 n$ - Altitude pour $u_n \leq 950$ hPa : $n \geq 455$ m - $C = 1000$ - $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$ - $(v_n)$ est géométrique de raison $e^{-0.12}$ - Altitude pour pression $< 1000 e^{-0.36}$ : $n > 3$ km (3000 m)