1. **Énoncé du problème** : Un poisson nage à une profondeur variant entre 0 m (surface) et 30 m (profondeur maximale) suivant une fonction sinusoïdale avec une période de 60 m. On cherche la profondeur du poisson à une distance horizontale de 20 m après avoir atteint la surface. 2. **Modélisation mathématique** : La profondeur $y(x)$ peut être modélisée par une fonction sinusoïdale de la forme : $$y(x) = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} (x - x_0)\right) + D$$ avec : - $A$ l'amplitude, - $T$ la période, - $x_0$ un décalage horizontal, - $D$ la valeur moyenne (axe moyen). 3. **Détermination des paramètres** : - L'amplitude $A = \frac{30 - 0}{2} = 15$ m, - La profondeur varie entre 0 et 30, donc la valeur moyenne $D = 15$ m, - La période $T = 60$ m. 4. **Conditions initiales** : Le poisson commence à une profondeur de 30 m à $x=0$ (car il a nagé 20 m à 30 m avant la sinusoïde), donc : $$y(0) = 30 = 15 \sin\left(\frac{2\pi}{60} (0 - x_0)\right) + 15$$ $$\Rightarrow 30 - 15 = 15 = 15 \sin\left(-\frac{2\pi}{60} x_0\right)$$ $$\Rightarrow \sin\left(-\frac{2\pi}{60} x_0\right) = 1$$ 5. **Résolution pour $x_0$** : La fonction sinus vaut 1 en $\frac{\pi}{2}$, donc : $$-\frac{2\pi}{60} x_0 = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x_0 = -\frac{\pi/2 \times 60}{2\pi} = -15$$ 6. **Formule finale** : $$y(x) = 15 \sin\left(\frac{2\pi}{60} (x + 15)\right) + 15$$ 7. **Calcul de la profondeur à $x=20$ m** : $$y(20) = 15 \sin\left(\frac{2\pi}{60} (20 + 15)\right) + 15 = 15 \sin\left(\frac{2\pi}{60} \times 35\right) + 15$$ $$= 15 \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) + 15 = 15 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 15 = -7.5 + 15 = 7.5$$ 8. **Interprétation** : La profondeur est de 7,5 m, mais la question demande la profondeur sous l'eau, donc la distance entre la surface (0 m) et le poisson est $30 - 7.5 = 22.5$ m. **Réponse finale** : Le poisson nageait à une profondeur de **22,5 m sous l'eau** à 20 m horizontalement après avoir atteint la surface.