1. **Énoncé du problème :** Calculer la quantité d'eau, en millilitres, que l'athlète doit boire lors de son entraînement. 2. **Données importantes :** - Temps à l'effort physique : 6 min 30 s = $6{,}5$ min - La durée totale de l'entraînement est la somme du temps à l'effort et du temps au repos $t$ (en min). - L'athlète doit boire 0,3 L d'eau toutes les 15 minutes. 3. **Formule pour la quantité d'eau :** $$\text{Quantité d'eau (L)} = 0{,}3 \times \frac{\text{durée totale (min)}}{15}$$ 4. **Trouver le temps au repos $t$ :** On utilise la formule donnée : $$F_{\text{finale}}(t) - F_{\text{initiale}}(t) = \frac{250}{t^2 + 2} + 75$$ 5. **Calcul de $F_{\text{finale}}$ et $F_{\text{initiale}}$ avec $F(t) = 50\sqrt{t} + 72$ :** - $F_{\text{initiale}} = F(0) = 50\sqrt{0} + 72 = 72$ - $F_{\text{finale}} = F(6{,}5) = 50\sqrt{6{,}5} + 72$ Calculons $\sqrt{6{,}5}$ : $$\sqrt{6{,}5} \approx 2{,}55$$ Donc : $$F_{\text{finale}} \approx 50 \times 2{,}55 + 72 = 127{,}5 + 72 = 199{,}5$$ 6. **Substituons dans la formule :** $$199{,}5 - 72 = \frac{250}{t^2 + 2} + 75$$ $$127{,}5 = \frac{250}{t^2 + 2} + 75$$ 7. **Isolons la fraction :** $$127{,}5 - 75 = \frac{250}{t^2 + 2}$$ $$52{,}5 = \frac{250}{t^2 + 2}$$ 8. **Résolvons pour $t^2 + 2$ :** $$t^2 + 2 = \frac{250}{52{,}5}$$ $$t^2 + 2 = \frac{250}{52{,}5} = \frac{250 \times 2}{105} = \frac{500}{105} \approx 4{,}76$$ 9. **Calcul de $t^2$ :** $$t^2 = 4{,}76 - 2 = 2{,}76$$ 10. **Calcul de $t$ :** $$t = \sqrt{2{,}76} \approx 1{,}66 \text{ min}$$ 11. **Durée totale de l'entraînement :** $$6{,}5 + 1{,}66 = 8{,}16 \text{ min}$$ 12. **Calcul de la quantité d'eau en litres :** $$0{,}3 \times \frac{8{,}16}{15} = 0{,}3 \times 0{,}544 = 0{,}1632 \text{ L}$$ 13. **Conversion en millilitres :** $$0{,}1632 \text{ L} = 163{,}2 \text{ mL}$$ **Réponse finale :** L'athlète doit boire environ **163 millilitres** d'eau lors de cet entraînement.