1. **Énoncé du problème :** Nous devons déterminer combien de temps après la chute de Marie, Pierre la rejoint en courant sur un sentier étroit. 2. **Données importantes :** - Accélération de Pierre : $a_P = 0{,}25\ \mathrm{m/s^2}$ - Accélération de Marie : $a_M = 0{,}3\ \mathrm{m/s^2}$ - Temps avant la chute de Marie : $t = 20\ \mathrm{s}$ 3. **Calculer la distance parcourue par chacun avant la chute de Marie :** La distance parcourue avec une accélération constante à partir du repos est donnée par la formule : $$d = \frac{1}{2} a t^2$$ 4. **Distance parcourue par Pierre au moment de la chute :** $$d_P = \frac{1}{2} \times 0{,}25 \times 20^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}25 \times 400 = 50\ \mathrm{m}$$ 5. **Distance parcourue par Marie au moment de la chute :** $$d_M = \frac{1}{2} \times 0{,}3 \times 20^2 = \frac{1}{2} \times 0{,}3 \times 400 = 60\ \mathrm{m}$$ 6. **Distance entre Pierre et Marie au moment de la chute :** $$\Delta d = d_M - d_P = 60 - 50 = 10\ \mathrm{m}$$ 7. **Après la chute de Marie :** - Marie est immobile (distance constante) - Pierre continue d'accélérer à $0{,}25\ \mathrm{m/s^2}$ 8. **Définir le temps $t'$ après la chute pour que Pierre rattrape Marie :** - Position de Marie après la chute : constante à $60\ \mathrm{m}$ - Position de Pierre après la chute : $$d_P(t') = 50 + v_{P,20} t' + \frac{1}{2} a_P t'^2$$ 9. **Calculer la vitesse de Pierre au moment de la chute :** $$v_{P,20} = a_P \times 20 = 0{,}25 \times 20 = 5\ \mathrm{m/s}$$ 10. **Équation pour trouver $t'$ :** Pierre rattrape Marie quand $d_P(t') = 60$ : $$50 + 5 t' + \frac{1}{2} \times 0{,}25 \times t'^2 = 60$$ 11. **Simplifier l'équation :** $$50 + 5 t' + 0{,}125 t'^2 = 60$$ $$5 t' + 0{,}125 t'^2 = 10$$ 12. **Résoudre cette équation quadratique pour $t'$ :** C'est une équation de la forme : $$0{,}125 t'^2 + 5 t' - 10 = 0$$ 13. **Méthode pour résoudre :** Utiliser la formule quadratique : $$t' = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ avec $a=0{,}125$, $b=5$, $c=-10$. 14. **Interprétation :** Le temps $t'$ doit être positif car il représente un temps après la chute. 15. **Conclusion :** En résolvant cette équation, on trouvera le temps nécessaire pour que Pierre atteigne Marie après sa chute.