1. **Énoncé du problème** : Un projectile est lancé verticalement avec une vitesse initiale de 35 m/s. Sa hauteur après $t$ secondes est donnée par la fonction $$h(t) = 35t - 5t^2.$$ Nous devons trouver : a) La vitesse du projectile à $t=2$ s et $t=4$ s. b) Le moment où le projectile retombe au sol. c) La vitesse au moment où il touche le sol. 2. **Formule utilisée** : La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps. Donc $$v(t) = \frac{dh}{dt} = \frac{d}{dt}(35t - 5t^2) = 35 - 10t.$$ 3. **Calcul de la vitesse à $t=2$ s et $t=4$ s** : - Pour $t=2$ : $$v(2) = 35 - 10 \times 2 = 35 - 20 = 15 \text{ m/s}.$$ - Pour $t=4$ : $$v(4) = 35 - 10 \times 4 = 35 - 40 = -5 \text{ m/s}.$$ La vitesse négative indique que le projectile descend. 4. **Trouver le moment où le projectile retombe au sol** : Le projectile est au sol quand $h(t) = 0$ : $$35t - 5t^2 = 0.$$ Factorisons : $$t(35 - 5t) = 0.$$ Donc soit $t=0$ (lancement), soit $$35 - 5t = 0 \Rightarrow 5t = 35 \Rightarrow t = \frac{35}{5} = 7 \text{ s}.$$ Le projectile retombe donc au sol à $t=7$ s. 5. **Calcul de la vitesse au moment de l'impact ($t=7$ s)** : $$v(7) = 35 - 10 \times 7 = 35 - 70 = -35 \text{ m/s}.$$ La vitesse est négative, indiquant une descente rapide au moment de l'impact. **Réponses finales** : a) $v(2) = 15$ m/s, $v(4) = -5$ m/s. b) Le projectile retombe au sol à $t=7$ s. c) La vitesse au moment de l'impact est $-35$ m/s.