1. **Planteamiento del problema:** Queremos entender las tres distribuciones fundamentales en probabilidad: Binomial, Hipergeométrica y Poisson. 2. **Distribución Binomial:** Se usa para modelar el número de éxitos en $n$ ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito $p$. La fórmula es: $$P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$ - $n$ es el número total de ensayos. - $x$ es el número de éxitos deseados. - $p$ es la probabilidad de éxito en cada ensayo. 3. **Ejemplo Binomial:** Si lanzamos una moneda 10 veces ($n=10$) y la probabilidad de éxito (cara) es $p=0.3$, la probabilidad de obtener exactamente 2 caras es: $$P(X=2) = \binom{10}{2} (0.3)^2 (0.7)^8 = 0.2335$$ 4. **Distribución Hipergeométrica:** Se usa cuando se extraen muestras sin reemplazo de una población finita. La fórmula es: $$P(X = x) = \frac{\binom{K}{x} \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$ - $N$ es el tamaño total de la población. - $K$ es el número de éxitos en la población. - $n$ es el tamaño de la muestra. - $x$ es el número de éxitos en la muestra. 5. **Ejemplo Hipergeométrica:** Si hay $N=17$ elementos, con $K=8$ defectuosos, y se extraen $n=7$ elementos, la probabilidad de obtener exactamente 3 defectuosos es: $$P(X=3) = \frac{\binom{8}{3} \binom{9}{4}}{\binom{17}{7}}$$ 6. **Distribución de Poisson:** Modela el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo cuando los eventos son raros y ocurren con una tasa promedio $BClambda$. La fórmula es: $$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$ - $BClambda$ es el número esperado de eventos. - $x$ es el número de eventos observados. 7. **Ejemplo Poisson:** Si el promedio de eventos es $BClambda=6$, la probabilidad de observar exactamente 3 eventos es: $$P(X=3) = \frac{e^{-6} 6^3}{3!} = 0.08912$$ **Resumen:** - Binomial: ensayos independientes con reemplazo, probabilidad constante. - Hipergeométrica: muestreo sin reemplazo de población finita. - Poisson: eventos raros en intervalos fijos con tasa promedio. Cada distribución tiene su fórmula y contexto de aplicación.