1. Planteamiento del problema: Un dado honesto se lanza dos veces. Se pide: a) Especificar el espacio muestral. b) Definir los eventos A = "suma 7" y B = "al menos un 6". c) Calcular las probabilidades P(A), P(B) y P(A \cap B). d) Determinar si A y B son excluyentes o independientes y justificar. 2. Espacio muestral: Al lanzar un dado dos veces, cada lanzamiento tiene 6 posibles resultados, por lo que el espacio muestral es el conjunto de todos los pares ordenados: $$S = \{(i,j) \mid i=1,2,3,4,5,6; j=1,2,3,4,5,6\}$$ El número total de elementos en $S$ es $6 \times 6 = 36$. 3. Definición de eventos: - Evento A: suma de los dos dados es 7. - Evento B: al menos uno de los dados muestra un 6. 4. Encontrar los elementos de A: Los pares $(i,j)$ tales que $i+j=7$ son: $$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$$ Por lo tanto, $|A|=6$. 5. Encontrar los elementos de B: Los pares donde al menos un dado es 6: - Primer dado 6: $(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)$ - Segundo dado 6 (sin repetir $(6,6)$): $(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)$ Total elementos en B: $$6 + 5 = 11$$ 6. Calcular $P(A)$: $$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ 7. Calcular $P(B)$: $$P(B) = \frac{|B|}{|S|} = \frac{11}{36}$$ 8. Calcular $A \cap B$ (intersección): Elementos que están en A y B simultáneamente son los pares con suma 7 y al menos un 6: De la lista de A, los que tienen un 6 son $(1,6)$ y $(6,1)$. Por lo tanto, $|A \cap B| = 2$. 9. Calcular $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$ 10. Verificar si A y B son excluyentes: Dos eventos son excluyentes si $P(A \cap B) = 0$. Aquí $P(A \cap B) = \frac{1}{18} \neq 0$, por lo que no son excluyentes. 11. Verificar si A y B son independientes: Dos eventos son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Calculemos: $$P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{11}{36} = \frac{11}{216}$$ Comparar con $P(A \cap B) = \frac{1}{18} = \frac{12}{216}$. Como $\frac{11}{216} \neq \frac{12}{216}$, los eventos no son independientes. Respuesta final: - Espacio muestral $S$ tiene 36 elementos. - $P(A) = \frac{1}{6}$, $P(B) = \frac{11}{36}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{18}$. - A y B no son excluyentes ni independientes.