1. Planteamiento del problema: Un dado honesto se lanza dos veces. 2. a. Espacio muestral: El espacio muestral $S$ es el conjunto de todos los pares ordenados posibles de resultados de dos lanzamientos. Cada lanzamiento puede dar un resultado de 1 a 6, entonces: $$S = \{(i,j) \mid i=1,2,3,4,5,6; j=1,2,3,4,5,6\}$$ Hay $6 \times 6 = 36$ elementos en $S$. 3. b. Definición de eventos: - $A$: "suma 7", es decir, $A = \{(i,j) \in S \mid i+j=7\}$. - $B$: "al menos un 6", es decir, $B = \{(i,j) \in S \mid i=6 \text{ o } j=6\}$. 4. c. Cálculo de probabilidades: - $P(A)$: Los pares que suman 7 son $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$, total 6. $$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ - $P(B)$: Pares con al menos un 6. Contamos: - Primer lanzamiento 6: $(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)$ (6 elementos) - Segundo lanzamiento 6 (sin contar el $(6,6)$ ya contado): $(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)$ (5 elementos) Total $6+5=11$ elementos. $$P(B) = \frac{11}{36}$$ - $P(A \cap B)$: Intersección, pares que suman 7 y tienen al menos un 6. De $A$ los pares con 6 son $(1,6)$ y $(6,1)$, total 2. $$P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$ 5. d. ¿Son $A$ y $B$ excluyentes? Dos eventos son excluyentes si $P(A \cap B) = 0$. Aquí $P(A \cap B) = \frac{1}{18} \neq 0$, por lo que no son excluyentes. ¿Son independientes? Dos eventos son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Calculamos: $$P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{11}{36} = \frac{11}{216}$$ Como $P(A \cap B) = \frac{1}{18} = \frac{12}{216} \neq \frac{11}{216}$, no son independientes. Respuesta final: - Espacio muestral $S$ tiene 36 elementos. - $P(A) = \frac{1}{6}$, $P(B) = \frac{11}{36}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{18}$. - $A$ y $B$ no son excluyentes ni independientes.