1. Planteamos el problema: Alberto tiene 70 años y la probabilidad de que viva hasta los 90 años es $\frac{4}{13}$. Jorge tiene 65 años y la probabilidad de que viva hasta los 85 años es $\frac{1}{5}$. Queremos encontrar la probabilidad de que al menos uno de ellos esté vivo dentro de 20 años. 2. Definimos eventos: - $A$: Alberto vive hasta los 90 años. - $J$: Jorge vive hasta los 85 años. 3. La probabilidad de que al menos uno esté vivo es: $$P(A \cup J) = P(A) + P(J) - P(A \cap J)$$ 4. Asumimos que los eventos son independientes, entonces: $$P(A \cap J) = P(A) \times P(J) = \frac{4}{13} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{65}$$ 5. Calculamos $P(A \cup J)$: $$P(A \cup J) = \frac{4}{13} + \frac{1}{5} - \frac{4}{65}$$ 6. Encontramos un común denominador para sumar y restar las fracciones. El mínimo común múltiplo de 13, 5 y 65 es 65. Convertimos cada fracción: $$\frac{4}{13} = \frac{4 \times 5}{13 \times 5} = \frac{20}{65}$$ $$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 13}{5 \times 13} = \frac{13}{65}$$ 7. Sustituimos: $$P(A \cup J) = \frac{20}{65} + \frac{13}{65} - \frac{4}{65} = \frac{20 + 13 - 4}{65} = \frac{29}{65}$$ 8. Simplificamos la fracción si es posible. $29$ y $65$ no tienen factores comunes aparte de 1, por lo que la fracción está en su forma más simple. 9. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos uno esté vivo dentro de 20 años es: $$\boxed{\frac{29}{65}}$$ 10. Revisamos las opciones dadas y ninguna es exactamente $\frac{29}{65}$, pero la opción b es $\frac{29}{35}$, que es diferente. Sin embargo, la opción e es $\frac{33}{65}$, que tampoco coincide. 11. Verificamos si hubo error en la suma: $$\frac{20}{65} + \frac{13}{65} - \frac{4}{65} = \frac{29}{65}$$ 12. La respuesta correcta es $\frac{29}{65}$, que no está en las opciones. Posiblemente hubo un error en las opciones o en la interpretación. 13. Si consideramos que la pregunta pide la probabilidad de que al menos uno esté vivo, y las opciones son las dadas, la más cercana y correcta es $\frac{29}{35}$ (opción b), pero matemáticamente la respuesta correcta es $\frac{29}{65}$. 14. Por lo tanto, la respuesta correcta es $\frac{29}{65}$.