1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una población de 1,000,000 mujeres, de las cuales 8,125 tienen cáncer de mama. Se conoce: - $P(\text{mamografía positiva} | \text{cáncer}) = 0.83$ - $P(\text{mamografía negativa} | \text{no cáncer}) = 0.95$ - Se pide: - La probabilidad marginal de no tener cáncer de mama. - La probabilidad de no tener cáncer condicionada a que la mamografía sea negativa. 2. **Probabilidad marginal de no tener cáncer de mama:** La probabilidad marginal de tener cáncer es: $$P(\text{cáncer}) = \frac{8125}{1000000} = 0.008125$$ Por lo tanto, la probabilidad marginal de no tener cáncer es: $$P(\text{no cáncer}) = 1 - P(\text{cáncer}) = 1 - 0.008125 = 0.991875$$ 3. **Probabilidad de no tener cáncer condicionada a mamografía negativa:** Usamos el teorema de Bayes: $$P(\text{no cáncer} | \text{mamografía negativa}) = \frac{P(\text{mamografía negativa} | \text{no cáncer}) \cdot P(\text{no cáncer})}{P(\text{mamografía negativa})}$$ Donde: $$P(\text{mamografía negativa}) = P(\text{mamografía negativa} | \text{cáncer}) \cdot P(\text{cáncer}) + P(\text{mamografía negativa} | \text{no cáncer}) \cdot P(\text{no cáncer})$$ Sabemos que: $$P(\text{mamografía negativa} | \text{cáncer}) = 1 - P(\text{mamografía positiva} | \text{cáncer}) = 1 - 0.83 = 0.17$$ Calculamos $P(\text{mamografía negativa})$: $$P(\text{mamografía negativa}) = 0.17 \times 0.008125 + 0.95 \times 0.991875 = 0.00138125 + 0.94228125 = 0.9436625$$ Finalmente: $$P(\text{no cáncer} | \text{mamografía negativa}) = \frac{0.95 \times 0.991875}{0.9436625} = \frac{0.94228125}{0.9436625}$$ Simplificamos mostrando cancelación: $$= \frac{\cancel{0.94228125}}{\cancel{0.9436625}} \approx 0.9985$$ 4. **Respuesta:** - La probabilidad marginal de no tener cáncer es aproximadamente $0.992$ (opción 2). - La probabilidad de no tener cáncer condicionada a mamografía negativa es aproximadamente $0.999$ (opción 1).