1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un paciente que puede ser atendido en dos centros hospitalarios A y B. - En A, el tiempo de atención $X_A$ sigue una distribución normal con media $\mu_A=9$ y desviación típica $\sigma_A=1$. - En B, el tiempo de atención $X_B$ sigue una distribución normal con media $\mu_B=8.5$ y varianza $\sigma_B^2=4$, por lo que $\sigma_B=2$. El paciente elige el centro A con probabilidad $P(A)=0.3$ y el centro B con probabilidad $P(B)=0.7$. Se pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a 10 minutos, es decir, $P(X>10)$ donde $X$ es el tiempo de espera elegido al azar entre A y B? 2. **Fórmula y reglas importantes:** La probabilidad total se calcula usando la ley de la probabilidad total: $$ P(X>10) = P(X>10|A)P(A) + P(X>10|B)P(B) $$ Para cada centro, calculamos $P(X>10)$ usando la distribución normal estándar $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$: $$ P(X>10) = P\left(Z > \frac{10-\mu}{\sigma}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{10-\mu}{\sigma}\right) $$ donde $\Phi$ es la función de distribución acumulada (CDF) de la normal estándar. 3. **Cálculo para el centro A:** $$ Z_A = \frac{10 - 9}{1} = 1 $$ Entonces: $$ P(X_A > 10) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 $$ 4. **Cálculo para el centro B:** $$ Z_B = \frac{10 - 8.5}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 $$ Entonces: $$ P(X_B > 10) = 1 - \Phi(0.75) = 1 - 0.7734 = 0.2266 $$ 5. **Probabilidad total:** $$ P(X>10) = P(X_A>10)P(A) + P(X_B>10)P(B) = 0.1587 \times 0.3 + 0.2266 \times 0.7 $$ $$ = 0.04761 + 0.15862 = 0.20623 $$ 6. **Respuesta:** La probabilidad de que el paciente haya esperado más de 10 minutos es aproximadamente $0.2062$. Por lo tanto, la opción correcta es la **B.- 0,2062**.