1. **Planteamiento del problema:** Se tienen dos canastas con frutas: - Canasta 1: 25 frutillas y 25 moras (total 50 frutas). - Canasta 2: 10 frutillas y 8 moras (total 18 frutas). Se saca una carta de la baraja: - Si la carta es del As al 9 (9 cartas), se escoge una fruta de la canasta 1. - Si la carta es del 10 a la K (4 cartas: 10, J, Q, K), se escoge una fruta de la canasta 2. Queremos calcular probabilidades relacionadas con sacar moras o frutillas. 2. **Datos y fórmulas:** - Total cartas consideradas: $9 + 4 = 13$. - Probabilidad de elegir canasta 1: $P(C1) = \frac{9}{13}$. - Probabilidad de elegir canasta 2: $P(C2) = \frac{4}{13}$. Probabilidades condicionales dentro de cada canasta: - $P(\text{mora}|C1) = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$. - $P(\text{frutilla}|C1) = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$. - $P(\text{mora}|C2) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$. - $P(\text{frutilla}|C2) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$. 3. **a) Probabilidad de que la fruta extraída sea una mora:** Usamos la ley de la probabilidad total: $$ P(\text{mora}) = P(C1)P(\text{mora}|C1) + P(C2)P(\text{mora}|C2) $$ Sustituyendo: $$ P(\text{mora}) = \frac{9}{13} \times \frac{1}{2} + \frac{4}{13} \times \frac{4}{9} = \frac{9}{26} + \frac{16}{117}. $$ Para sumar, llevamos a común denominador: $$ \frac{9}{26} = \frac{9 \times 9}{26 \times 9} = \frac{81}{234}, \quad \frac{16}{117} = \frac{16 \times 2}{117 \times 2} = \frac{32}{234}. $$ Entonces: $$ P(\text{mora}) = \frac{81}{234} + \frac{32}{234} = \frac{113}{234} \approx 0.4829. $$ 4. **b) Probabilidad de que la fruta extraída sea una frutilla:** Similar al caso anterior: $$ P(\text{frutilla}) = P(C1)P(\text{frutilla}|C1) + P(C2)P(\text{frutilla}|C2) = \frac{9}{13} \times \frac{1}{2} + \frac{4}{13} \times \frac{5}{9} = \frac{9}{26} + \frac{20}{117}. $$ Llevando a común denominador: $$ \frac{9}{26} = \frac{81}{234}, \quad \frac{20}{117} = \frac{40}{234}. $$ Sumamos: $$ P(\text{frutilla}) = \frac{81}{234} + \frac{40}{234} = \frac{121}{234} \approx 0.5171. $$ 5. **c) Diagrama de árbol:** - Primer nivel: elegir canasta 1 con probabilidad $\frac{9}{13}$ o canasta 2 con probabilidad $\frac{4}{13}$. - Segundo nivel: dentro de cada canasta, elegir mora o frutilla con las probabilidades dadas. 6. **d) Probabilidad de que al sacar una mora, esta sea de la canasta 1 (Teorema de Bayes):** $$ P(C1|\text{mora}) = \frac{P(C1)P(\text{mora}|C1)}{P(\text{mora})} = \frac{\frac{9}{13} \times \frac{1}{2}}{\frac{113}{234}} = \frac{\frac{9}{26}}{\frac{113}{234}}. $$ Simplificamos: $$ P(C1|\text{mora}) = \frac{9}{26} \times \frac{234}{113} = \frac{9 \times 234}{26 \times 113}. $$ Cancelamos factores comunes: $$ \cancel{26} \text{ y } 234 = 9 \times 26, \quad \Rightarrow P(C1|\text{mora}) = \frac{9 \times 9 \times 26}{\cancel{26} \times 113} = \frac{81}{113} \approx 0.716. $$ 7. **e) Probabilidad de que al sacar una frutilla, esta sea de la canasta 2 (Teorema de Bayes):** $$ P(C2|\text{frutilla}) = \frac{P(C2)P(\text{frutilla}|C2)}{P(\text{frutilla})} = \frac{\frac{4}{13} \times \frac{5}{9}}{\frac{121}{234}} = \frac{\frac{20}{117}}{\frac{121}{234}}. $$ Simplificamos: $$ P(C2|\text{frutilla}) = \frac{20}{117} \times \frac{234}{121} = \frac{20 \times 234}{117 \times 121}. $$ Cancelamos factores comunes: $$ 117 = 9 \times 13, \quad 234 = 18 \times 13, \quad \Rightarrow P(C2|\text{frutilla}) = \frac{20 \times 18 \times 13}{9 \times 13 \times 121} = \frac{20 \times 18}{9 \times 121} = \frac{360}{1089} = \frac{40}{121} \approx 0.3306. $$ **Respuesta final:** - a) $P(\text{mora}) = \frac{113}{234} \approx 0.483$. - b) $P(\text{frutilla}) = \frac{121}{234} \approx 0.517$. - d) $P(C1|\text{mora}) = \frac{81}{113} \approx 0.716$. - e) $P(C2|\text{frutilla}) = \frac{40}{121} \approx 0.331$.