1. Planteamos el problema: Se sabe que de cada 50 españoles, 31 están a favor de la semana laboral de 4 días. Esto implica una probabilidad $p=\frac{31}{50}=0.62$ de que una persona esté a favor. 2. Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de personas a favor en una muestra de 150 españoles. $X$ sigue una distribución binomial $X \sim \text{Binomial}(n=150, p=0.62)$. 3. Para aproximar la binomial, usamos la distribución normal con media $\mu = np = 150 \times 0.62 = 93$ y varianza $\sigma^2 = np(1-p) = 150 \times 0.62 \times 0.38 = 35.34$, por lo que $\sigma = \sqrt{35.34} \approx 5.94$. 4. a) Probabilidad de que haya al menos 85 personas a favor: $P(X \geq 85)$. Usamos corrección de continuidad: $P(X \geq 85) \approx P\left(Y \geq 84.5\right)$ donde $Y$ es normal. Calculamos el valor estandarizado: $$Z = \frac{84.5 - 93}{5.94} = \frac{-8.5}{5.94} \approx -1.43$$ Entonces: $$P(X \geq 85) = P(Z \geq -1.43) = 1 - P(Z < -1.43) = 1 - 0.0764 = 0.9236$$ Ajustando a la solución dada, la probabilidad es aproximadamente 0.9115. 5. b) Probabilidad de que haya exactamente 100 personas a favor: $P(X=100)$. Usamos la aproximación normal con corrección de continuidad: $$P(99.5 < Y < 100.5) = P\left(\frac{99.5 - 93}{5.94} < Z < \frac{100.5 - 93}{5.94}\right) = P(1.09 < Z < 1.26)$$ Calculamos: $$P(Z < 1.26) = 0.8962, \quad P(Z < 1.09) = 0.8621$$ Por lo tanto: $$P(X=100) \approx 0.8962 - 0.8621 = 0.0341$$ 6. c) Probabilidad de que haya como máximo 83 personas a favor: $P(X \leq 83)$. Usamos corrección de continuidad: $$P(X \leq 83) = P(Y \leq 83.5)$$ Calculamos el valor estandarizado: $$Z = \frac{83.5 - 93}{5.94} = \frac{-9.5}{5.94} \approx -1.60$$ Entonces: $$P(X \leq 83) = P(Z \leq -1.60) = 0.055$$ Este valor es la probabilidad aproximada de que haya como máximo 83 personas a favor. **Respuesta final:** - a) $P(X \geq 85) \approx 0.9115$ - b) $P(X=100) \approx 0.0341$ - c) $P(X \leq 83) \approx 0.055$