1. Problema nº7: Calcular la probabilidad de aprobar un examen de 80 preguntas con 4 opciones cada una, contestando al azar. La probabilidad de acertar una pregunta es $p=\frac{1}{4}=0.25$. Para aprobar, supongamos que se necesita al menos 40 respuestas correctas (50% de 80). Usamos la distribución binomial: $$P(X \geq 40) = 1 - P(X < 40) = 1 - \sum_{k=0}^{39} \binom{80}{k} p^k (1-p)^{80-k}$$ Calcular esta suma es complejo sin software, pero la probabilidad es muy baja, cercana a 0. Respuesta correcta: B.-0 2. Problema nº8: Probabilidad de acertar menos de 20 preguntas. Queremos $P(X < 20) = \sum_{k=0}^{19} \binom{80}{k} p^k (1-p)^{80-k}$ con $p=0.25$. Usando aproximación normal o software, esta probabilidad es aproximadamente 0.4483. Respuesta correcta: B.-0,4483 3. Problema nº9: Probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer menor de 65 años. Datos: - $P(\text{mujer})=0.49$ - $P(<65|\text{mujer})=0.80$ La probabilidad buscada es: $$P(\text{mujer y } <65) = P(\text{mujer}) \times P(<65|\text{mujer}) = 0.49 \times 0.80 = 0.392$$ Respuesta correcta: B.-0,392 4. Problema nº10: Probabilidad de que al menos una de tres personas elegidas al azar sea mujer. $P(\text{mujer})=0.49$ entonces $P(\text{no mujer})=0.51$. La probabilidad de que ninguna sea mujer es: $$P(\text{ninguna mujer}) = 0.51^3 = 0.132651$$ Por lo tanto, la probabilidad de que al menos una sea mujer es: $$1 - 0.51^3 = 1 - 0.132651 = 0.867349$$ Respuesta correcta: C.-0,8673