1. **Enunciado do problema:** Temos uma caixa com 15 bolas, das quais 5 são azuis e 10 são cinzentas. Um saco contém algumas bolas cinzentas (quantidade desconhecida, digamos $x$) e 7 bolas de outras cores. 2. **Definição do problema:** Retira-se uma bola ao acaso da caixa e coloca-se no saco. Depois, retira-se uma bola ao acaso do saco. Sabemos que a probabilidade de a bola retirada do saco ser cinzenta, dado que a bola retirada da caixa foi cinzenta, é $\frac{3}{4}$. Queremos determinar o número $x$ de bolas cinzentas inicialmente no saco. 3. **Análise do problema:** - Inicialmente, o saco tem $x$ bolas cinzentas e 7 bolas de outras cores, total $x+7$ bolas. - Retira-se uma bola da caixa: se for cinzenta (probabilidade $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$), essa bola é adicionada ao saco. - O saco passa a ter $x+1$ bolas cinzentas e 7 bolas de outras cores, total $x+8$ bolas. 4. **Probabilidade condicional dada:** A probabilidade de retirar uma bola cinzenta do saco após adicionar a bola cinzenta da caixa é: $$ P = \frac{x+1}{x+8} = \frac{3}{4} $$ 5. **Resolução da equação:** $$ \frac{x+1}{x+8} = \frac{3}{4} $$ Multiplicando cruzado: $$ 4(x+1) = 3(x+8) $$ $$ 4x + 4 = 3x + 24 $$ Subtraindo $3x$ de ambos os lados: $$ 4x - \cancel{3x} + 4 = \cancel{3x} + 24 \Rightarrow x + 4 = 24 $$ Subtraindo 4 de ambos os lados: $$ x = 20 $$ 6. **Conclusão:** O saco tem inicialmente 20 bolas cinzentas. **Resposta final:** $x = 20$.