1. O problema trata de uma variável aleatória com distribuição de Poisson com média $\lambda = 2$, que representa o número de petroleiros que chegam diariamente a uma refinaria. 2. A refinaria atualmente pode atender no máximo 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 petroleiros chegarem, os excedentes devem ir para outro porto. 3. Queremos saber em quantos petroleiros as instalações devem ser aumentadas para atender todos os navios que chegam, ou seja, para que a capacidade seja suficiente para o número máximo esperado de petroleiros. 4. A distribuição de Poisson tem a propriedade que a média e a variância são iguais a $\lambda = 2$. 5. Para garantir que todos os petroleiros sejam atendidos, a capacidade deve ser aumentada para um valor que cubra praticamente todos os casos possíveis, ou seja, um valor maior que 3 que minimize a probabilidade de excedentes. 6. Calculamos a probabilidade de mais de 3 petroleiros chegarem: $$P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - \sum_{k=0}^3 \frac{e^{-2} 2^k}{k!}$$ 7. Calculando $P(X \leq 3)$: $$P(X=0) = e^{-2} \frac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$$ $$P(X=1) = e^{-2} \frac{2^1}{1!} = 2e^{-2} = 0.2707$$ $$P(X=2) = e^{-2} \frac{2^2}{2!} = 2e^{-2} = 0.2707$$ $$P(X=3) = e^{-2} \frac{2^3}{3!} = \frac{8}{6} e^{-2} = 0.1804$$ Somando: $$P(X \leq 3) = 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804 = 0.8571$$ 8. Assim, a probabilidade de exceder 3 petroleiros é: $$P(X > 3) = 1 - 0.8571 = 0.1429$$ 9. Para praticamente eliminar a necessidade de redirecionar navios, a capacidade deve ser aumentada para um valor $k$ tal que $P(X > k)$ seja muito pequeno. 10. Calculamos $P(X \leq k)$ para valores maiores que 3 até que $P(X > k)$ seja aceitavelmente pequeno. 11. Para $k=4$: $$P(X=4) = e^{-2} \frac{2^4}{4!} = e^{-2} \frac{16}{24} = 0.0902$$ $$P(X \leq 4) = P(X \leq 3) + P(X=4) = 0.8571 + 0.0902 = 0.9473$$ $$P(X > 4) = 1 - 0.9473 = 0.0527$$ 12. Para $k=5$: $$P(X=5) = e^{-2} \frac{2^5}{5!} = e^{-2} \frac{32}{120} = 0.0361$$ $$P(X \leq 5) = 0.9473 + 0.0361 = 0.9834$$ $$P(X > 5) = 1 - 0.9834 = 0.0166$$ 13. Para $k=6$: $$P(X=6) = e^{-2} \frac{2^6}{6!} = e^{-2} \frac{64}{720} = 0.0107$$ $$P(X \leq 6) = 0.9834 + 0.0107 = 0.9941$$ $$P(X > 6) = 1 - 0.9941 = 0.0059$$ 14. Portanto, aumentando a capacidade para 6 petroleiros, a probabilidade de excedentes cai para menos de 1%, praticamente eliminando a necessidade de redirecionar navios. 15. Como a capacidade atual é 3, o aumento necessário é: $$6 - 3 = 3$$ **Resposta final:** As instalações devem ser aumentadas em 3 petroleiros para atender todos os navios que chegam.