1. O problema pede para comparar o limite superior da probabilidade $P(|X| \geq t\sigma)$ para $t>0$, onde $X$ é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ e $\sigma$ é o desvio padrão de $X$, usando a desigualdade de Chebyshev, com o valor exato dessa probabilidade. 2. Primeiro, calculamos o desvio padrão $\sigma$ de $X$. Para uma variável uniforme em $(a,b)$, temos: $$\sigma = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}$$ Aqui, $a = -\frac{1}{2}$ e $b = \frac{1}{2}$, então: $$\sigma = \sqrt{\frac{(\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2}{12}} = \sqrt{\frac{(1)^2}{12}} = \frac{1}{\sqrt{12}}$$ 3. A desigualdade de Chebyshev afirma que para qualquer $t > 0$: $$P(|X - \mu| \geq t\sigma) \leq \frac{1}{t^2}$$ Como $X$ é uniforme simétrica em torno de zero, $\mu = 0$, então: $$P(|X| \geq t\sigma) \leq \frac{1}{t^2}$$ 4. Agora, calculamos o valor exato de $P(|X| \geq t\sigma)$. Sabemos que $X$ está em $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ uniformemente, então: $$P(|X| \geq t\sigma) = P\left(|X| \geq \frac{t}{\sqrt{12}}\right) = 1 - P\left(-\frac{t}{\sqrt{12}} < X < \frac{t}{\sqrt{12}}\right)$$ 5. Como $X$ é uniforme, a probabilidade de estar em um intervalo é o comprimento do intervalo dividido pelo comprimento total $1$: $$P\left(-\frac{t}{\sqrt{12}} < X < \frac{t}{\sqrt{12}}\right) = \frac{2t/\sqrt{12}}{1} = \frac{2t}{\sqrt{12}}$$ 6. Portanto: $$P(|X| \geq t\sigma) = 1 - \frac{2t}{\sqrt{12}} = 1 - \frac{t}{\sqrt{3}}$$ 7. Resumo: - Limite superior pela desigualdade de Chebyshev: $$P(|X| \geq t\sigma) \leq \frac{1}{t^2}$$ - Valor exato: $$P(|X| \geq t\sigma) = 1 - \frac{t}{\sqrt{3}}$$ 8. Note que o valor exato é uma função linear decrescente em $t$ até o ponto onde $1 - \frac{t}{\sqrt{3}}$ atinge zero, enquanto o limite de Chebyshev é uma função quadrática decrescente. Para valores pequenos de $t$, o limite de Chebyshev é maior que o valor exato, mostrando que a desigualdade é conservadora. Resposta final: O limite superior da desigualdade de Chebyshev para $P(|X| \geq t\sigma)$ é $\frac{1}{t^2}$, enquanto o valor exato é $1 - \frac{t}{\sqrt{3}}$ para $t$ tal que $0 < t \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$.