1. **Enunciado do problema:** Temos uma variável aleatória discreta $Y$ que representa o número de automóveis procurados por dia num stand. A função de probabilidade é dada por: $$\begin{array}{c|ccccc} y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ p(y) & \frac{1}{20} & p & q & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\\end{array}$$ Sabemos que $P(Y \geq 2) = 0.75$. 2. **Encontrar $p$ e $q$:** Sabemos que: $$P(Y \geq 2) = P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4) = q + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 0.75$$ Calculando $q$: $$q = 0.75 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 0.75 - \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = 0.75 - \frac{7}{12} = \frac{9}{12} - \frac{7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$ A soma das probabilidades deve ser 1: $$\frac{1}{20} + p + q + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1$$ Substituindo $q = \frac{1}{6}$: $$\frac{1}{20} + p + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1$$ Somando as frações conhecidas: $$\frac{1}{20} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1}{20} + \frac{10}{60} + \frac{20}{60} + \frac{15}{60} = \frac{1}{20} + \frac{45}{60}$$ Convertendo $\frac{1}{20}$ para sexagésimos: $$\frac{1}{20} = \frac{3}{60}$$ Logo: $$\frac{3}{60} + \frac{45}{60} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5}$$ Então: $$p + \frac{4}{5} = 1 \Rightarrow p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$ 3. **Calcular $P(Y=3 | Y \geq 2)$:** $$P(Y=3 | Y \geq 2) = \frac{P(Y=3)}{P(Y \geq 2)} = \frac{\frac{1}{3}}{0.75} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{9} \approx 0.4444$$ 4. **Calcular o número médio (esperança) $\mu_Y$:** $$\mu_Y = E(Y) = \sum y \cdot p(y) = 0 \times \frac{1}{20} + 1 \times \frac{1}{5} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{4}$$ Calculando cada termo: $$0 + \frac{1}{5} + \frac{2}{6} + 1 + 1 = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} + 1 + 1$$ Somando as frações: $$\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}$$ Somando tudo: $$\frac{8}{15} + 1 + 1 = \frac{8}{15} + 2 = \frac{8}{15} + \frac{30}{15} = \frac{38}{15} \approx 2.5333$$ 5. **Calcular a mediana:** A mediana é o menor valor $y$ tal que a função distribuição acumulada $F(y) \geq 0.5$. Calculando $F(y)$: $$F(0) = \frac{1}{20} = 0.05$$ $$F(1) = F(0) + p = 0.05 + 0.2 = 0.25$$ $$F(2) = F(1) + q = 0.25 + \frac{1}{6} \approx 0.25 + 0.1667 = 0.4167$$ $$F(3) = F(2) + \frac{1}{3} = 0.4167 + 0.3333 = 0.75$$ $$F(4) = 1$$ Como $F(3) = 0.75 \geq 0.5$, a mediana é $3$. **Resposta final:** - $p = \frac{1}{5} = 0.20$ - $q = \frac{1}{6} \approx 0.1667$ - $P(Y=3 | Y \geq 2) = \frac{4}{9} \approx 0.4444$ - $E(Y) = \frac{38}{15} \approx 2.5333$ - Mediana = 3