Question: 6. Numa turma do 12.º ano, constituída por 24 alunos, sabe-se que:
• $\frac{5}{8}$ dos alunos são raparigas;
• 3 rapazes e 5 raparigas pertencem ao Clube de Teatro da escola.
Pretende-se constituir, ao acaso, uma comissão de 5 alunos da turma.
Determine a probabilidade de a comissão ser constituída por exatamente 2 rapazes e 3 raparigas e ter pelo menos um aluno do Clube de Teatro.
Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.
1. **Enunciado do problema:**
Temos uma turma de 24 alunos, onde $\frac{5}{8}$ são raparigas e o restante rapazes.
Queremos formar uma comissão de 5 alunos com exatamente 2 rapazes e 3 raparigas, e que tenha pelo menos um aluno do Clube de Teatro.
2. **Determinar o número de raparigas e rapazes:**
Número de raparigas:
$$24 \times \frac{5}{8} = 15$$
Número de rapazes:
$$24 - 15 = 9$$
3. **Informação sobre o Clube de Teatro:**
- Rapazes no clube: 3
- Raparigas no clube: 5
Logo:
- Rapazes fora do clube: $9 - 3 = 6$
- Raparigas fora do clube: $15 - 5 = 10$
4. **Número total de formas de escolher a comissão com 2 rapazes e 3 raparigas:**
$$\binom{9}{2} \times \binom{15}{3}$$
Calculando:
$$\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$$
$$\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2} = 455$$
Total de comissões com 2 rapazes e 3 raparigas:
$$36 \times 455 = 16380$$
5. **Número de comissões com 2 rapazes e 3 raparigas, mas sem nenhum aluno do Clube de Teatro:**
Para não ter nenhum aluno do clube, todos os escolhidos devem ser fora do clube.
Rapazes fora do clube: 6
Raparigas fora do clube: 10
Número de comissões sem alunos do clube:
$$\binom{6}{2} \times \binom{10}{3}$$
Calculando:
$$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$$
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2} = 120$$
Total:
$$15 \times 120 = 1800$$
6. **Número de comissões com 2 rapazes e 3 raparigas e pelo menos um aluno do Clube de Teatro:**
$$16380 - 1800 = 14580$$
7. **Probabilidade pedida:**
$$P = \frac{14580}{16380}$$
Simplificando a fração:
$$P = \frac{\cancel{14580}^{\times 1}}{\cancel{16380}^{\times 1}}$$
Dividindo numerador e denominador por 60:
$$P = \frac{14580 \div 60}{16380 \div 60} = \frac{243}{273}$$
Dividindo por 3:
$$P = \frac{81}{91}$$
8. **Convertendo para dízima arredondada às milésimas:**
$$P \approx 0{,}890\quad (\text{arredondado})$$
**Resposta final:**
A probabilidade de a comissão ser constituída por exatamente 2 rapazes e 3 raparigas e ter pelo menos um aluno do Clube de Teatro é aproximadamente $0{,}890$.