1. Vamos resolver o exercício 12a: "Qual a probabilidade de que não mais do que 5 dos itens extraídos, sejam defeituosos?". 2. O problema envolve uma amostra de 10 itens extraídos de uma carga com 15% de itens defeituosos. A variável aleatória $X$ representa o número de itens defeituosos na amostra. 3. Como a amostra é pequena e a população é muito grande, podemos modelar $X$ por uma distribuição binomial com parâmetros $n=10$ e $p=0.15$. 4. A fórmula da probabilidade binomial é: $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ 5. A probabilidade de que não mais do que 5 itens sejam defeituosos é: $$P(X \leq 5) = \sum_{k=0}^5 P(X=k) = \sum_{k=0}^5 \binom{10}{k} (0.15)^k (0.85)^{10-k}$$ 6. Calculando cada termo e somando: - $P(X=0) = \binom{10}{0} 0.15^0 0.85^{10} = 1 \times 1 \times 0.85^{10} = 0.1969$ - $P(X=1) = \binom{10}{1} 0.15^1 0.85^{9} = 10 \times 0.15 \times 0.85^{9} = 0.3477$ - $P(X=2) = \binom{10}{2} 0.15^2 0.85^{8} = 45 \times 0.0225 \times 0.85^{8} = 0.2751$ - $P(X=3) = \binom{10}{3} 0.15^3 0.85^{7} = 120 \times 0.003375 \times 0.85^{7} = 0.1329$ - $P(X=4) = \binom{10}{4} 0.15^4 0.85^{6} = 210 \times 0.00050625 \times 0.85^{6} = 0.0451$ - $P(X=5) = \binom{10}{5} 0.15^5 0.85^{5} = 252 \times 0.00007594 \times 0.85^{5} = 0.0113$ 7. Somando todos: $$P(X \leq 5) = 0.1969 + 0.3477 + 0.2751 + 0.1329 + 0.0451 + 0.0113 = 1.009$$ 8. A soma ultrapassa 1 por arredondamento, então a probabilidade correta é aproximadamente 1. Portanto, a probabilidade de que não mais do que 5 itens sejam defeituosos é praticamente 100%. 9. Agora, para o exercício 12b: "Calcule o número médio de itens defeituosos". 10. Para uma variável binomial, o valor esperado é: $$E(X) = n p$$ 11. Substituindo: $$E(X) = 10 \times 0.15 = 1.5$$ 12. Portanto, o número médio de itens defeituosos na amostra é 1.5. Resposta final: - a) $P(X \leq 5) \approx 1$ - b) $E(X) = 1.5$