1. **Enunciado do problema:** Temos dois testes diagnósticos T1 e T2 para uma doença. O teste T2 só é realizado se T1 for positivo. Queremos calcular probabilidades condicionais baseadas nos resultados dos testes e na probabilidade prévia da doença. 2. **Dados fornecidos:** - $P(T1=+|D)=0.9$ (probabilidade de T1 positivo dado que a pessoa está doente) - $P(T1=+|\neg D)=0.1$ (probabilidade de T1 positivo dado que a pessoa não está doente) - $P(T2=+|T1=+,D)=0.95$ - $P(T2=+|T1=+,\neg D)=0.1$ - $P(D)=0.05$ (probabilidade da pessoa estar doente) 3. **Complementos importantes:** - $P(\neg D)=1-P(D)=0.95$ - $P(T1=-|D)=1-P(T1=+|D)=0.1$ - $P(T1=-|\neg D)=1-P(T1=+|\neg D)=0.9$ - $P(T2=-|T1=+,D)=1-P(T2=+|T1=+,D)=0.05$ - $P(T2=-|T1=+,\neg D)=1-P(T2=+|T1=+,\neg D)=0.9$ --- ### a) Se os testes T1 e T2 dão positivos, qual a probabilidade da pessoa estar doente? 4. Queremos calcular $P(D|T1=+,T2=+)$. 5. Pela fórmula de Bayes: $$ P(D|T1=+,T2=+) = \frac{P(T1=+,T2=+|D)P(D)}{P(T1=+,T2=+)} $$ 6. Como $T2$ só é feito se $T1=+$, temos: $$ P(T1=+,T2=+|D) = P(T1=+|D) \times P(T2=+|T1=+,D) = 0.9 \times 0.95 = 0.855 $$ 7. Similarmente para $\neg D$: $$ P(T1=+,T2=+|\neg D) = P(T1=+|\neg D) \times P(T2=+|T1=+,\neg D) = 0.1 \times 0.1 = 0.01 $$ 8. Calculamos o denominador usando a lei da probabilidade total: $$ P(T1=+,T2=+) = P(T1=+,T2=+|D)P(D) + P(T1=+,T2=+|\neg D)P(\neg D) = 0.855 \times 0.05 + 0.01 \times 0.95 = 0.04275 + 0.0095 = 0.05225 $$ 9. Finalmente: $$ P(D|T1=+,T2=+) = \frac{0.855 \times 0.05}{0.05225} = \frac{0.04275}{0.05225} $$ 10. Simplificando com cancelamento: $$ P(D|T1=+,T2=+) = \frac{\cancel{0.04275}}{\cancel{0.05225}} \approx 0.818 $$ --- ### b) Se o teste T1 dá positivo e o teste T2 dá negativo, qual a probabilidade da pessoa não estar doente? 11. Queremos $P(\neg D|T1=+,T2=-)$. 12. Pela fórmula de Bayes: $$ P(\neg D|T1=+,T2=-) = \frac{P(T1=+,T2=-|\neg D)P(\neg D)}{P(T1=+,T2=-)} $$ 13. Calculamos as probabilidades condicionais: $$ P(T1=+,T2=-|D) = P(T1=+|D) \times P(T2=-|T1=+,D) = 0.9 \times 0.05 = 0.045 $$ $$ P(T1=+,T2=-|\neg D) = P(T1=+|\neg D) \times P(T2=-|T1=+,\neg D) = 0.1 \times 0.9 = 0.09 $$ 14. Denominador pela lei da probabilidade total: $$ P(T1=+,T2=-) = P(T1=+,T2=-|D)P(D) + P(T1=+,T2=-|\neg D)P(\neg D) = 0.045 \times 0.05 + 0.09 \times 0.95 = 0.00225 + 0.0855 = 0.08775 $$ 15. Calculamos a probabilidade desejada: $$ P(\neg D|T1=+,T2=-) = \frac{0.09 \times 0.95}{0.08775} = \frac{0.0855}{0.08775} $$ 16. Simplificando com cancelamento: $$ P(\neg D|T1=+,T2=-) = \frac{\cancel{0.0855}}{\cancel{0.08775}} \approx 0.974 $$ --- **Respostas finais:** - a) $P(D|T1=+,T2=+) \approx 0.818$ - b) $P(\neg D|T1=+,T2=-) \approx 0.974$