1. **Stating the problem:** Calcolare le probabilità richieste per un test diagnostico della malattia M con: - Incidenza (prevalenza) $P(M) = 0.06$ - Sensibilità $P(T^+|M) = 0.94$ - Specificità $P(T^-|\neg M) = 0.98$ Dove $T^+$ è test positivo e $T^-$ test negativo. 2. **Formula e regole importanti:** - Probabilità che un individuo con test positivo sia malato (probabilità a posteriori): $$P(M|T^+) = \frac{P(T^+|M)P(M)}{P(T^+)}$$ - Probabilità che un individuo malato abbia test negativo (falso negativo): $$P(T^-|M) = 1 - P(T^+|M)$$ - Probabilità che un individuo a caso abbia test negativo: $$P(T^-) = P(T^-|M)P(M) + P(T^-|\neg M)P(\neg M)$$ 3. **Calcoli intermedi:** - Calcolare $P(T^+)$: $$P(T^+) = P(T^+|M)P(M) + P(T^+|\neg M)P(\neg M)$$ Dove $P(T^+|\neg M) = 1 - \text{specificità} = 1 - 0.98 = 0.02$ Calcoliamo: $$P(T^+) = 0.94 \times 0.06 + 0.02 \times 0.94 = 0.0564 + 0.0188 = 0.0752$$ 4. **Calcolo probabilità che individuo con test positivo sia malato:** $$P(M|T^+) = \frac{0.94 \times 0.06}{0.0752} = \frac{0.0564}{0.0752}$$ Mostriamo la semplificazione con cancellazione: $$P(M|T^+) = \frac{\cancel{0.0564}}{\cancel{0.0752}} = 0.75$$ 5. **Calcolo probabilità che un malato abbia test negativo:** $$P(T^-|M) = 1 - 0.94 = 0.06$$ 6. **Calcolo probabilità che un individuo a caso abbia test negativo:** $$P(T^-|\neg M) = 0.98$$ $$P(\neg M) = 1 - 0.06 = 0.94$$ $$P(T^-) = 0.06 \times 0.06 + 0.98 \times 0.94 = 0.0036 + 0.9212 = 0.9248$$ **Risposte finali:** - a) $P(M|T^+) = 0.75$ - b) $P(T^-|M) = 0.06$ - c) $P(T^-) = 0.9248$