1. **Énoncé du problème :** On considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ qui suivent des lois normales $X \sim N(22,4)$ et $Y \sim N(18,3)$. On définit $Z = X + Y$ et on admet que $Z$ suit une loi normale. 2. **Justification de l'espérance et de l'écart-type de $Z$ :** - L'espérance de la somme de deux variables indépendantes est la somme des espérances : $$E(Z) = E(X) + E(Y) = 22 + 18 = 40$$ - La variance de la somme de deux variables indépendantes est la somme des variances : $$Var(Z) = Var(X) + Var(Y) = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ - L'écart-type est la racine carrée de la variance : $$\sigma_Z = \sqrt{25} = 5$$ 3. **Calcul de la probabilité $P(34 \leq Z \leq 48)$ :** - On standardise $Z$ en utilisant la variable normale centrée réduite $Z' = \frac{Z - 40}{5}$. - Les bornes deviennent : $$\frac{34 - 40}{5} = -1.2 \quad \text{et} \quad \frac{48 - 40}{5} = 1.6$$ - La probabilité cherchée est : $$P(34 \leq Z \leq 48) = P(-1.2 \leq Z' \leq 1.6) = \Phi(1.6) - \Phi(-1.2)$$ - En utilisant les tables de la loi normale : $$\Phi(1.6) \approx 0.9452, \quad \Phi(-1.2) = 1 - \Phi(1.2) \approx 1 - 0.8849 = 0.1151$$ - Donc : $$P(34 \leq Z \leq 48) \approx 0.9452 - 0.1151 = 0.8301$$ 4. **Détermination de $a$ tel que $P(40 - a \leq Z \leq 40 + a) = 0.95$ :** - On cherche $a$ tel que : $$P(40 - a \leq Z \leq 40 + a) = 0.95$$ - En standardisant : $$P\left(-\frac{a}{5} \leq Z' \leq \frac{a}{5}\right) = 0.95$$ - La probabilité symétrique autour de 0 de 0.95 correspond à un quantile $z_{0.975}$ (car $0.95 = 2 \times 0.975 - 1$) : $$\Phi\left(\frac{a}{5}\right) - \Phi\left(-\frac{a}{5}\right) = 0.95$$ - Or $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ donc : $$2 \Phi\left(\frac{a}{5}\right) - 1 = 0.95 \Rightarrow \Phi\left(\frac{a}{5}\right) = 0.975$$ - D'après les tables, $z_{0.975} = 1.96$, donc : $$\frac{a}{5} = 1.96 \Rightarrow a = 5 \times 1.96 = 9.8$$ 5. **Interprétation :** - L'intervalle $[40 - 9.8, 40 + 9.8] = [30.2, 49.8]$ contient 95% des valeurs possibles de $Z$. - Cela signifie que la somme $Z$ de $X$ et $Y$ tombera dans cet intervalle avec une probabilité de 95%.