1. **Énoncé du problème :** On a 6 livres de gestion, 2 de marketing, 4 d'économie, 5 de GRH. On veut ranger ces livres dans une bibliothèque en gardant les livres de chaque discipline ensemble. 2. **Formule utilisée :** Le nombre de façons de ranger des groupes distincts ensemble est le produit du nombre de permutations des groupes entre eux et des permutations à l'intérieur de chaque groupe. 3. **Calculs :** - Nombre de façons de permuter les 4 groupes : $$4!$$ - Nombre de façons de ranger les livres dans chaque groupe : $$6!, 2!, 4!, 5!$$ 4. **Calcul final :** $$4! \times 6! \times 2! \times 4! \times 5!$$ --- 1. **Énoncé du problème :** Ensemble fondamental $$\Omega = \{\text{Statistique, Probabilités, Mathématique, Management, Comptabilité}\}$$. 2. **Formule utilisée :** Dispositions ordonnées de k éléments parmi n : $$P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}$$ 3. **Calculs :** - a) Pour 2 modules : $$P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{120}{6} = 20$$ - b) Pour 3 modules : $$P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$$ --- 1. **Énoncé du problème :** 3 médailles (Or, Argent, Bronze) à attribuer à 27 candidats, un seul prix par candidat. 2. **Formule utilisée :** Nombre de permutations de 3 candidats parmi 27 : $$P(27,3) = \frac{27!}{(27-3)!}$$ 3. **Calcul :** $$P(27,3) = 27 \times 26 \times 25 = 17550$$ --- 1. **Énoncé du problème :** Constituer un groupe de 5 représentants parmi 15 étudiants (11 SEG, 4 Droit). 2. **Formules utilisées :** - a) Ordre important : arrangements de 5 parmi 15 : $$A(15,5) = \frac{15!}{(15-5)!}$$ - b) Ordre non important : combinaisons de 5 parmi 15 : $$C(15,5) = \frac{15!}{5!10!}$$ - c) Exactement 2 Droit et 3 SEG, ordre non important : $$C(4,2) \times C(11,3)$$ 3. **Calculs :** - a) $$A(15,5) = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 = 360360$$ - b) $$C(15,5) = \frac{15!}{5!10!} = 3003$$ - c) $$C(4,2) = 6, \quad C(11,3) = 165, \quad 6 \times 165 = 990$$ --- 1. **Énoncé du problème :** Codes à 8 chiffres pour décodeurs. 2. **Formules utilisées :** - a) Nombre total de codes : $$10^8$$ - Nombre de codes avec 8 chiffres différents : $$P(10,8) = \frac{10!}{2!}$$ - b) Codes à 2 chiffres différents, l'un utilisé 1 fois, l'autre 7 fois : choisir 2 chiffres parmi 10, puis choisir la position du chiffre unique : $$C(10,2) \times C(8,1) \times 2!$$ - c) Codes à 3 chiffres différents, 2 utilisés une fois, 1 utilisé 6 fois : choisir 3 chiffres, choisir positions des 2 chiffres uniques : $$C(10,3) \times C(8,1) \times C(7,1) \times 3!$$ 3. **Calculs :** - a) $$10^8 = 100000000$$ $$P(10,8) = \frac{10!}{2!} = \frac{3628800}{2} = 1814400$$ - b) $$C(10,2) = 45, \quad C(8,1) = 8, \quad 2! = 2$$ $$45 \times 8 \times 2 = 720$$ - c) $$C(10,3) = 120, \quad C(8,1) = 8, \quad C(7,1) = 7, \quad 3! = 6$$ $$120 \times 8 \times 7 \times 6 = 40320$$ --- 1. **Énoncé du problème :** QCM de 20 questions, 5 choix par question, une seule réponse par question. 2. **Formule utilisée :** Nombre de façons de répondre : $$5^{20}$$ 3. **Calcul :** $$5^{20} = 95367431640625$$