1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions $f(x) = x^2 - 3x + 2$ et $g(x) = 3x^2 + 4x + 1$. On définit une suite de variables aléatoires $Y_n(x)$ qui vaut $f(x)$ avec probabilité $1 - e^{-n}$ et $g(x)$ avec probabilité $e^{-n}$. On pose $Z_n = \min_{x \in \mathbb{R}} Y_n(x)$. Nous devons : 1. Étudier les variations de $f$ et $g$. 2. Trouver les minima de $f$ et $g$. 3. Montrer que $(\mathbb{P}(Y_n(x) = g(x)))_n$ est une suite géométrique. 4. Donner la loi de $Z_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 5. Trouver pour quels $n$ on a $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) > e^{-10}$. --- 2. **Variations de $f$ et $g$ :** - Pour $f(x) = x^2 - 3x + 2$, calculons la dérivée : $$f'(x) = 2x - 3$$ - Étudions le signe de $f'(x)$ : 1. $f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ 2. Pour $x < \frac{3}{2}$, $f'(x) < 0$ donc $f$ est décroissante. 3. Pour $x > \frac{3}{2}$, $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante. Donc $f$ décroît sur $(-\infty, \frac{3}{2}]$ et croît sur $[\frac{3}{2}, +\infty)$. - Pour $g(x) = 3x^2 + 4x + 1$, calculons la dérivée : $$g'(x) = 6x + 4$$ - Étudions le signe de $g'(x)$ : 1. $g'(x) = 0 \Rightarrow 6x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$ 2. Pour $x < -\frac{2}{3}$, $g'(x) < 0$ donc $g$ est décroissante. 3. Pour $x > -\frac{2}{3}$, $g'(x) > 0$ donc $g$ est croissante. Donc $g$ décroît sur $(-\infty, -\frac{2}{3}]$ et croît sur $[-\frac{2}{3}, +\infty)$. --- 3. **Minima de $f$ et $g$ :** - Le minimum de $f$ est atteint en $x = \frac{3}{2}$ : $$f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \times \frac{3}{2} + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{8}{4} = -\frac{1}{4}$$ - Le minimum de $g$ est atteint en $x = -\frac{2}{3}$ : $$g\left(-\frac{2}{3}\right) = 3 \times \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \times \left(-\frac{2}{3}\right) + 1 = 3 \times \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 1 = \frac{12}{9} - \frac{8}{3} + 1 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{1}{3}$$ --- 4. **Montrer que $(\mathbb{P}(Y_n(x) = g(x)))_n$ est une suite géométrique :** Par définition, $\mathbb{P}(Y_n(x) = g(x)) = e^{-n}$. La suite $(e^{-n})_n$ est géométrique car : $$\frac{e^{-(n+1)}}{e^{-n}} = e^{-1}$$ Donc la raison est $e^{-1}$, et la suite est géométrique de raison $e^{-1}$. --- 5. **Loi de $Z_n$ :** Par définition : $$Z_n = \min_{x \in \mathbb{R}} Y_n(x)$$ Or $Y_n(x)$ vaut $f(x)$ avec probabilité $1 - e^{-n}$ et $g(x)$ avec probabilité $e^{-n}$. Le minimum de $f$ est $-\frac{1}{4}$ et celui de $g$ est $-\frac{1}{3}$. Donc : - $Z_n = -\frac{1}{4}$ si $Y_n(x) = f(x)$ (car $-\frac{1}{4} > -\frac{1}{3}$) - $Z_n = -\frac{1}{3}$ si $Y_n(x) = g(x)$ Ainsi : $$\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{4}) = 1 - e^{-n}$$ $$\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) = e^{-n}$$ --- 6. **Pour quel $n$ a-t-on $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) > e^{-10}$ ?** On cherche $n$ tel que : $$e^{-n} > e^{-10}$$ En prenant le logarithme népérien : $$-n > -10 \Rightarrow n < 10$$ Donc pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n < 10$, on a $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) > e^{-10}$. --- **Résumé final :** - Variations : $f$ décroissante puis croissante avec minimum en $\frac{3}{2}$, $g$ décroissante puis croissante avec minimum en $-\frac{2}{3}$. - Minima : $\min f = -\frac{1}{4}$, $\min g = -\frac{1}{3}$. - $(\mathbb{P}(Y_n(x) = g(x)))_n$ est géométrique de raison $e^{-1}$. - Loi de $Z_n$ : $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{4}) = 1 - e^{-n}$, $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) = e^{-n}$. - $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) > e^{-10}$ pour $n < 10$.