1. **Menentukan fungsi kepekatan peluang (pmf) dari X** Misalkan $p = \frac{1}{365}$ adalah peluang seseorang memiliki tanggal ulang tahun yang sama denganmu. Fungsi kepekatan peluang dari $X$ yang merupakan banyaknya orang yang ditanya sampai menemukan seseorang dengan tanggal ulang tahun yang sama adalah distribusi geometrik dengan parameter $p$: $$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p$$ untuk $k = 1, 2, 3, \dots$ 2. **Menentukan nilai rata-rata, varian, dan simpangan baku dari X** Untuk distribusi geometrik dengan parameter $p$, rumusnya adalah: - Rata-rata (mean): $$E(X) = \frac{1}{p}$$ - Varian: $$Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$$ - Simpangan baku (standar deviasi): $$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}$$ Dengan $p = \frac{1}{365}$, maka: $$E(X) = \frac{1}{\frac{1}{365}} = 365$$ $$Var(X) = \frac{1 - \frac{1}{365}}{\left(\frac{1}{365}\right)^2} = \frac{\frac{364}{365}}{\frac{1}{133225}} = 364 \times 365 = 132860$$ $$\sigma = \sqrt{132860} \approx 364.5$$ 3. **Menghitung $Pr(X > 400)$ dan $Pr(X < 300)$** - $Pr(X > 400)$ adalah peluang bahwa orang yang cocok ditemukan setelah 400 orang pertama: $$Pr(X > 400) = 1 - Pr(X \leq 400) = 1 - \sum_{k=1}^{400} (1-p)^{k-1} p$$ Karena ini distribusi geometrik, kita gunakan rumus jumlah deret geometri: $$Pr(X > 400) = (1-p)^{400} = \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{400}$$ - $Pr(X < 300)$ adalah peluang bahwa orang yang cocok ditemukan sebelum 300 orang: $$Pr(X < 300) = Pr(X \leq 299) = 1 - Pr(X > 299) = 1 - (1-p)^{299} = 1 - \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{299}$$ **Jawaban akhir:** - Fungsi kepekatan peluang: $$P(X = k) = \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{k-1} \times \frac{1}{365}$$ - Rata-rata: $365$ - Varian: $132860$ - Simpangan baku: $\approx 364.5$ - $Pr(X > 400) = \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{400}$ - $Pr(X < 300) = 1 - \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{299}$