1. Misalkan peubah acak $X$ menyatakan jumlah hari rawat inap pasien dengan fungsi peluang diskrit: $$f(x) = \frac{5 - x}{100}, \quad x = 1,2,3,4$$ Pasien menerima 200 untuk setiap dua hari pertama dan 100 untuk hari berikutnya. 2. Fungsi pembayaran total $Y$ tergantung pada $X$: - Jika $x = 1$ atau $2$, pembayaran $Y = 200x$ - Jika $x > 2$, pembayaran $Y = 200 \times 2 + 100(x - 2) = 400 + 100(x - 2)$ 3. Hitung nilai harapan $E(Y)$: $$E(Y) = \sum_{x=1}^4 Y(x) f(x)$$ 4. Hitung $Y(x)$ untuk tiap $x$: - $x=1$: $Y=200 \times 1=200$ - $x=2$: $Y=200 \times 2=400$ - $x=3$: $Y=400 + 100(3-2)=500$ - $x=4$: $Y=400 + 100(4-2)=600$ 5. Hitung $E(Y)$: $$E(Y) = 200 \times \frac{4}{100} + 400 \times \frac{3}{100} + 500 \times \frac{2}{100} + 600 \times \frac{1}{100}$$ $$= \frac{800 + 1200 + 1000 + 600}{100} = \frac{3600}{100} = 36$$ **Jawaban 1:** Nilai harapan total pembayaran adalah 36. --- 2. Diketahui fungsi peluang: $$f(x) = \begin{cases} 0.9, & x=0 \\ c, & x=1,2,3,4,5,6 \end{cases}$$ Jumlah peluang harus 1: $$0.9 + 6c = 1 \Rightarrow 6c = 0.1 \Rightarrow c = \frac{0.1}{6} = \frac{1}{60}$$ Nilai harapan $E(X)$: $$E(X) = 0 \times 0.9 + \sum_{x=1}^6 x \times \frac{1}{60} = \frac{1}{60} (1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{60} = 0.35$$ Karena ada potongan klaim 1 satuan, jumlah yang dibayar perusahaan asuransi adalah: $$Y = \max(0, X - 1)$$ Hitung $E(Y)$: $$E(Y) = \sum_{x=0}^6 P(X=x) \times \max(0, x-1) = 0 \times 0.9 + \sum_{x=1}^6 \frac{1}{60} \times \max(0, x-1)$$ $$= \frac{1}{60} (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = \frac{15}{60} = 0.25$$ **Jawaban 2:** $c=\frac{1}{60}$ dan nilai harapan pembayaran perusahaan asuransi adalah 0.25. --- 3a. Fungsi kepekatan peluang (geometrik) untuk $X$: $$P(X = k) = \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{k-1} \times \frac{1}{365}, \quad k=1,2,3,\ldots$$ 3b. Nilai rata-rata (mean): $$E(X) = \frac{1}{p} = 365$$ Varians: $$Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = 365 \times 364$$ Simpangan baku: $$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{365 \times 364}$$ 3c. Hitung probabilitas: $$Pr(X > 400) = (1-p)^{400} = \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{400}$$ $$Pr(X < 300) = 1 - Pr(X \geq 300) = 1 - (1-p)^{299} = 1 - \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{299}$$ --- 4. Probabilitas soal pertama yang benar adalah soal ke-4 (geometrik): $$P(X=4) = (1-p)^{3} p = \left(\frac{4}{5}\right)^3 \times \frac{1}{5} = \frac{64}{625} = 0.1024$$ --- 5a. Distribusi Poisson dengan rata-rata $\lambda=3$, nilai harapan jumlah koran terjual: $$E(X) = \lambda = 3$$ 5b. Cari $n$ minimum sehingga: $$Pr(X > n) < 0.05$$ Gunakan tabel Poisson atau fungsi kumulatif: $$Pr(X \leq n) > 0.95$$ Dengan $\lambda=3$, nilai $n=7$ memenuhi syarat. --- 6a. Fungsi kepadatan peluang: $$f(x) = \frac{3x^2}{7^3} e^{-\left(\frac{x}{7}\right)^3}, \quad x>0$$ Peluang bertahan setidaknya 7 tahun: $$P(X \geq 7) = 1 - F(7) = e^{-\left(\frac{7}{7}\right)^3} = e^{-1}$$ 6b. Peluang bersyarat bertahan 3.5 tahun lagi setelah 7 tahun: $$P(X \geq 10.5 | X \geq 7) = \frac{P(X \geq 10.5)}{P(X \geq 7)} = \frac{e^{-\left(\frac{10.5}{7}\right)^3}}{e^{-1}} = e^{1 - \left(1.5\right)^3} = e^{1 - 3.375} = e^{-2.375}$$ --- 7. Soal 7 tidak ada pertanyaan eksplisit, sudah tercakup di atas.