1. Misalkan peubah acak $X$ menyatakan jumlah hari rawat inap dengan fungsi peluang diskrit: $$f(x) = \frac{5 - x}{100}, \quad x = 1,2,3,4$$ Pasien menerima 200 untuk setiap dua hari pertama dan 100 untuk hari berikutnya. 2. Fungsi pembayaran total $Y$ adalah: $$Y = \begin{cases} 200x & \text{jika } x \leq 2 \\ 400 + 100(x-2) & \text{jika } x > 2 \end{cases}$$ 3. Hitung nilai harapan $E(Y)$: $$E(Y) = \sum_{x=1}^4 Y(x) f(x)$$ 4. Hitung $Y(x)$ untuk tiap $x$: - $x=1$: $Y=200 \times 1=200$ - $x=2$: $Y=200 \times 2=400$ - $x=3$: $Y=400 + 100(3-2)=500$ - $x=4$: $Y=400 + 100(4-2)=600$ 5. Hitung $E(Y)$: $$E(Y) = 200 \times \frac{4}{100} + 400 \times \frac{3}{100} + 500 \times \frac{2}{100} + 600 \times \frac{1}{100} = \frac{800 + 1200 + 1000 + 600}{100} = \frac{3600}{100} = 36$$ --- 2. Diketahui: $$f(x) = \begin{cases} 0.9, & x=0 \\ c, & x=1,2,3,4,5,6 \end{cases}$$ Jumlah probabilitas harus 1: $$0.9 + 6c = 1 \Rightarrow 6c = 0.1 \Rightarrow c = \frac{0.1}{6} = \frac{1}{60}$$ Nilai harapan: $$E(X) = 0 \times 0.9 + \sum_{x=1}^6 x \times \frac{1}{60} = \frac{1+2+3+4+5+6}{60} = \frac{21}{60} = 0.35$$ --- 3a. $X$ adalah jumlah orang yang ditanya sampai menemukan yang ulang tahun sama. Distribusi geometrik dengan parameter $p=\frac{1}{365}$: $$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$$ 3b. Rata-rata dan variansi: $$E(X) = \frac{1}{p} = 365$$ $$Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = 365 \times 364$$ Simpangan baku: $$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{365 \times 364} \approx 364.5$$ 3c. Probabilitas: $$P(X > 400) = (1-p)^{400} = \left(1-\frac{1}{365}\right)^{400}$$ $$P(X < 300) = 1 - P(X \geq 300) = 1 - (1-p)^{299}$$ --- 4. Probabilitas soal pertama benar di soal ke-4 (geometrik dengan $p=\frac{1}{5}$): $$P(X=4) = (1-p)^{3} p = \left(\frac{4}{5}\right)^3 \times \frac{1}{5} = \frac{64}{625} = 0.1024$$ --- 5a. Permintaan $X \sim Poisson(\lambda=3)$, pesanan $n=4$. Nilai harapan penjualan: $$E(\min(X,4)) = \sum_{k=0}^3 k \frac{3^k e^{-3}}{k!} + 4 \left(1 - \sum_{k=0}^3 \frac{3^k e^{-3}}{k!}\right)$$ 5b. Cari $n$ minimum sehingga: $$P(X > n) < 0.05$$ Gunakan tabel Poisson atau fungsi kumulatif. --- 6a. Peluang bertahan setidaknya 7 tahun: $$P(X \geq 7) = 1 - F(7) = 1 - \int_0^7 \frac{3x^2}{73} e^{-(x/7)^3} dx$$ 6b. Peluang bersyarat: $$P(X \geq 10.5 | X \geq 7) = \frac{P(X \geq 10.5)}{P(X \geq 7)}$$ --- 7a. Rata-rata: $$E(X) = \int_0^1 30x (1-x)^4 x dx = \int_0^1 30 x^2 (1-x)^4 dx$$ Simpangan baku dari variansi yang dihitung serupa. 7b. Peluang klaim melebihi 0.2: $$P(X > 0.2) = \int_{0.2}^1 30 x (1-x)^4 dx$$ --- 8a. $X \sim Poisson(16)$, $W$ waktu sebelum hitungan ke-7, distribusi Gamma: $$W \sim Gamma(k=7, \theta=\frac{1}{16})$$ 8b. Probabilitas: $$P(W \leq 0.5) = F_{Gamma}(0.5;7,1/16)$$ --- 9a. CDF: $$F(x) = 1 - e^{-\frac{x-\delta}{\theta}}, \quad x > \delta$$ 9b. Rata-rata dan variansi: $$E(X) = \delta + \theta$$ $$Var(X) = \theta^2$$ --- 10. Proses Poisson dengan laju $\lambda=5/10=0.5$ mobil/menit. Waktu menunggu mobil ke-8 adalah Gamma dengan $k=8$, $\theta=2$. Probabilitas menunggu lebih dari 26.5 menit: $$P(T > 26.5) = 1 - F_{Gamma}(26.5;8,2)$$