1. **Plantejament del problema:** Tenim dues monedes: 𝑀1, que és trucada amb probabilitat de cara $0{,}6$ i creu $0{,}4$, i 𝑀2, que té cara en ambdós costats (probabilitat de cara $1$). 2. **Part a) Probabilitat de tres cares en tres llançaments amb reposició:** Triem una moneda a l'atzar (probabilitat $\frac{1}{2}$ per a cada moneda), la llancem, anotem el resultat i la retornem. Repetim tres vegades. La probabilitat d'obtenir cara en un llançament és: $$P(\text{cara}) = P(M_1) \times P(\text{cara}|M_1) + P(M_2) \times P(\text{cara}|M_2) = \frac{1}{2} \times 0{,}6 + \frac{1}{2} \times 1 = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$$ La probabilitat d'obtenir tres cares seguides és: $$P(3\text{ cares}) = (0{,}8)^3 = 0{,}512$$ 3. **Probabilitat d'obtenir exactament una creu en tres llançaments:** La probabilitat de creu en un llançament és: $$P(\text{creu}) = 1 - P(\text{cara}) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$$ La probabilitat d'exactament una creu en tres llançaments és la probabilitat d'una successió amb una sola creu i dues cares, que és una distribució binomial: $$P(1\text{ creu}) = \binom{3}{1} (0{,}2)^1 (0{,}8)^2 = 3 \times 0{,}2 \times 0{,}64 = 0{,}384$$ 4. **Part b) Probabilitat que la moneda triada sigui 𝑀1 donat que s'observen dues cares en dos llançaments:** Definim l'esdeveniment $A$: moneda triada és $M_1$. Esdeveniment $B$: obtenir dues cares en dos llançaments. Calculem $P(B|A)$ i $P(B|M_2)$: - Per $M_1$: $$P(B|M_1) = (0{,}6)^2 = 0{,}36$$ - Per $M_2$: $$P(B|M_2) = 1^2 = 1$$ Aplicam el teorema de Bayes per a $P(M_1|B)$: $$P(M_1|B) = \frac{P(B|M_1) P(M_1)}{P(B|M_1) P(M_1) + P(B|M_2) P(M_2)} = \frac{0{,}36 \times \frac{1}{2}}{0{,}36 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2}} = \frac{0{,}18}{0{,}18 + 0{,}5} = \frac{0{,}18}{0{,}68} \approx 0{,}2647$$ I per $M_2$: $$P(M_2|B) = 1 - P(M_1|B) = 1 - 0{,}2647 = 0{,}7353$$ **Resposta final:** - Probabilitat de tres cares: $0{,}512$ - Probabilitat d'una creu exactament: $0{,}384$ - Probabilitat que la moneda sigui $M_1$ donat dues cares: aproximadament $0{,}265$ - Probabilitat que la moneda sigui $M_2$ donat dues cares: aproximadament $0{,}735$