1. **Plantejament del problema:** Tenim un joc on dos jugadors giren dues ruletes i multipliquen els nombres obtinguts. Cal determinar si convé escollir que el resultat sigui un nombre primer o un quadrat perfecte. 2. **Dades inicials:** - Ruleta 1: valors possibles $\{1,2,3\}$ - Ruleta 2: valors possibles $\{1,2,3,4\}$ 3. **Objectiu:** Cal calcular la probabilitat que el producte sigui primer i la probabilitat que sigui un quadrat perfecte. 4. **Càlcul dels productes possibles:** Els productes possibles són tots els $a \times b$ amb $a \in \{1,2,3\}$ i $b \in \{1,2,3,4\}$: $$\begin{aligned} &1\times1=1,\quad 1\times2=2,\quad 1\times3=3,\quad 1\times4=4,\\ &2\times1=2,\quad 2\times2=4,\quad 2\times3=6,\quad 2\times4=8,\\ &3\times1=3,\quad 3\times2=6,\quad 3\times3=9,\quad 3\times4=12. \end{aligned}$$ 5. **Identificació de nombres primers i quadrats:** - Nombres primers en la llista: $2,3$ - Quadrats perfectes en la llista: $1,4,9$ 6. **Càlcul de probabilitats:** Hi ha $3 \times 4 = 12$ resultats igualment probables. - Probabilitat de nombre primer: Els productes primers són $2$ i $3$. Comptem quantes vegades apareixen: - $2$ apareix a $1\times2$ i $2\times1$ (2 vegades) - $3$ apareix a $1\times3$ i $3\times1$ (2 vegades) Total: 4 casos. - Probabilitat de quadrat perfecte: Els quadrats són $1,4,9$. Comptem: - $1$ a $1\times1$ (1 cas) - $4$ a $1\times4$ i $2\times2$ (2 casos) - $9$ a $3\times3$ (1 cas) Total: 4 casos. 7. **Conclusió primera pregunta:** Les probabilitats són iguals: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ tant per nombre primer com per quadrat perfecte. 8. **Segona pregunta:** Canviarem un nombre d'una ruleta per augmentar la probabilitat de productes primers. Proposta: substituir el 4 de la segona ruleta per 5. 9. **Nous productes amb 5 en lloc de 4:** $$\begin{aligned} &1\times1=1,\quad 1\times2=2,\quad 1\times3=3,\quad 1\times5=5,\\ &2\times1=2,\quad 2\times2=4,\quad 2\times3=6,\quad 2\times5=10,\\ &3\times1=3,\quad 3\times2=6,\quad 3\times3=9,\quad 3\times5=15. \end{aligned}$$ 10. **Nombres primers nous:** Ara tenim $2,3,5$ com a possibles productes primers. 11. **Comptem casos primers:** - $2$: $1\times2$, $2\times1$ (2 casos) - $3$: $1\times3$, $3\times1$ (2 casos) - $5$: $1\times5$ (1 cas) Total: 5 casos. 12. **Comptem quadrats:** Els quadrats són $1,4,9$. - $1$: $1\times1$ (1 cas) - $4$: $2\times2$ (1 cas) - $9$: $3\times3$ (1 cas) Total: 3 casos. 13. **Probabilitats noves:** - Primer: $\frac{5}{12}$ - Quadrat: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ 14. **Conclusió segona pregunta:** Canviant el 4 per 5 augmentem la probabilitat de productes primers respecte als quadrats. **Resposta final:** - a) No hi ha avantatge inicial entre escollir primer o quadrat. - b) Canviant un nombre (4 per 5) la probabilitat de productes primers és més gran que la de quadrats.