1. **Énoncé du problème Exercice 1 :** On considère un dé cubique truqué avec faces numérotées de 1 à 6. La probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro inscrit sur cette face. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au numéro de la face obtenue. 2. **Déterminer la loi de $X$ :** La probabilité d'obtenir la face $i$ est proportionnelle à $i$, donc $P(X=i) = k \times i$ pour $i=1,2,\ldots,6$. 3. **Calcul de la constante $k$ :** La somme des probabilités doit être égale à 1 : $$\sum_{i=1}^6 P(X=i) = \sum_{i=1}^6 k i = k \sum_{i=1}^6 i = k \times 21 = 1$$ Donc $$k = \frac{1}{21}$$ 4. **Loi de $X$ :** $$P(X=i) = \frac{i}{21}, \quad i=1,2,3,4,5,6$$ 5. **Calcul de l'espérance de $X$ :** $$E(X) = \sum_{i=1}^6 i \times P(X=i) = \sum_{i=1}^6 i \times \frac{i}{21} = \frac{1}{21} \sum_{i=1}^6 i^2$$ On sait que $$\sum_{i=1}^6 i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 91$$ Donc $$E(X) = \frac{91}{21} = \frac{13}{3} \approx 4.333$$ 6. **Définition de $Y = \frac{1}{X}$ et détermination de sa loi :** Puisque $Y$ prend les valeurs $\frac{1}{i}$ avec la même probabilité que $X=i$, on a $$P(Y=\frac{1}{i}) = P(X=i) = \frac{i}{21}$$ 7. **Calcul de l'espérance de $Y$ :** $$E(Y) = \sum_{i=1}^6 \frac{1}{i} \times P(Y=\frac{1}{i}) = \sum_{i=1}^6 \frac{1}{i} \times \frac{i}{21} = \sum_{i=1}^6 \frac{1}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \approx 0.2857$$ --- 8. **Énoncé du problème Exercice 2 :** Un sac contient 24 grains de haricots dont 8 rouges et 16 blancs. On tire 3 grains simultanément. 9. **a) Cardinal de l'univers :** Le nombre total de tirages possibles de 3 grains parmi 24 est $$\binom{24}{3} = \frac{24 \times 23 \times 22}{3 \times 2 \times 1} = 2024$$ 10. **b) Probabilités demandées :** - 1) 3 rouges : $$P(3 \text{ rouges}) = \frac{\binom{8}{3}}{\binom{24}{3}} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}}{2024} = \frac{56}{2024} = \frac{7}{253} \approx 0.0277$$ - 2) 3 blancs : $$P(3 \text{ blancs}) = \frac{\binom{16}{3}}{\binom{24}{3}} = \frac{\frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1}}{2024} = \frac{560}{2024} = \frac{70}{253} \approx 0.2767$$ - 3) 1 rouge et 2 blancs : $$P(1R,2B) = \frac{\binom{8}{1} \times \binom{16}{2}}{\binom{24}{3}} = \frac{8 \times \frac{16 \times 15}{2}}{2024} = \frac{8 \times 120}{2024} = \frac{960}{2024} = \frac{120}{253} \approx 0.4747$$ - 4) 2 rouges et 1 blanc : $$P(2R,1B) = \frac{\binom{8}{2} \times \binom{16}{1}}{\binom{24}{3}} = \frac{\frac{8 \times 7}{2} \times 16}{2024} = \frac{28 \times 16}{2024} = \frac{448}{2024} = \frac{56}{253} \approx 0.2217$$