1. **Énoncé du problème :** Une urne contient 3 livres d'anglais, 5 livres de mathématiques et 4 livres de français. On tire successivement sans remise 3 livres. 2. **Déterminer Card(\Omega) :** Card(\Omega) est le nombre total de façons de tirer 3 livres parmi 12 (3+5+4). La formule est le nombre de combinaisons : $$\text{Card}(\Omega) = \binom{12}{3} = \frac{12!}{3!\times 9!}$$ Calculons : $$\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$$ 3. **Calcul des probabilités :** **A. Tirer 3 livres d'anglais** Nombre de façons de choisir 3 livres d'anglais parmi 3 : $$\binom{3}{3} = 1$$ Donc la probabilité est : $$P(A) = \frac{\binom{3}{3}}{\binom{12}{3}} = \frac{1}{220}$$ **B. Tirer 3 livres de même matière** On peut tirer 3 livres d'anglais, ou 3 livres de math, ou 3 livres de français. Calculons chaque cas : - Anglais : $$\binom{3}{3} = 1$$ - Math : $$\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$$ - Français : $$\binom{4}{3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$$ Total des cas favorables : $$1 + 10 + 4 = 15$$ Donc : $$P(B) = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$$ **C. Tirer 3 livres de matières différentes deux à deux** Cela signifie un livre d'anglais, un de math, un de français. Nombre de façons : $$\binom{3}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} = 3 \times 5 \times 4 = 60$$ Donc : $$P(C) = \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$$