1. Énoncé du problème : Un tireur tire 4 fois sur une cible avec une probabilité de succès $p=0{,}4$ à chaque tir. 2. Formule utilisée : La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès en $n$ essais indépendants suit la loi binomiale : $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ 3. Partie A : Probabilité d'atteindre la cible exactement 2 fois ($k=2$, $n=4$). $$P(X=2) = \binom{4}{2} (0{,}4)^2 (1-0{,}4)^{4-2}$$ 4. Calcul du coefficient binomial : $$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! (4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$$ 5. Calcul de la probabilité : $$P(X=2) = 6 \times (0{,}4)^2 \times (0{,}6)^2 = 6 \times 0{,}16 \times 0{,}36$$ 6. Multiplication intermédiaire : $$6 \times 0{,}16 = 0{,}96$$ 7. Résultat final : $$P(X=2) = 0{,}96 \times 0{,}36 = 0{,}3456$$ 8. Partie B : Probabilité d'atteindre la cible au moins une fois. C'est l'événement complémentaire de ne jamais atteindre la cible (0 succès) : $$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$$ 9. Calcul de $P(X=0)$ : $$P(X=0) = \binom{4}{0} (0{,}4)^0 (0{,}6)^4 = 1 \times 1 \times (0{,}6)^4 = (0{,}6)^4$$ 10. Calcul de $(0{,}6)^4$ : $$0{,}6^2 = 0{,}36$$ $$0{,}6^4 = (0{,}36)^2 = 0{,}1296$$ 11. Résultat final partie B : $$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}1296 = 0{,}8704$$ Réponses : - A) La probabilité d'atteindre la cible exactement 2 fois est $0{,}3456$. - B) La probabilité d'atteindre la cible au moins une fois est $0{,}8704$.