1. **Énoncé du problème** : On considère une urne contenant 6 billes rouges et 4 billes bleues. On tire successivement deux billes sans remise. On définit les événements : - $U$ : la première bille est rouge. - $D$ : la deuxième bille est rouge. 2. **Représentation par un arbre de probabilités** : - Première branche : $U$ (rouge) avec probabilité $\frac{6}{10}$ et $\overline{U}$ (bleue) avec probabilité $\frac{4}{10}$. - Deuxième branche conditionnelle : - Si $U$ est vrai, alors $D$ a pour probabilité $\frac{5}{9}$ (car une rouge a été retirée) et $\overline{D}$ a pour probabilité $\frac{4}{9}$. - Si $\overline{U}$ est vrai, alors $D$ a pour probabilité $\frac{6}{9}$ (toujours 6 rouges restantes) et $\overline{D}$ a pour probabilité $\frac{3}{9}$. 3. **Calcul des probabilités conditionnelles** : $$P_U(D) = \frac{5}{9} \approx 0.5556$$ $$P_U(\overline{D}) = \frac{4}{9} \approx 0.4444$$ 4. **Calcul des probabilités des événements conjoints** : $$P(U \cap D) = P(U) \times P_U(D) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$ $$P(U \cap \overline{D}) = P(U) \times P_U(\overline{D}) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15} \approx 0.2667$$ 5. **Description des événements** : - $U \cap D$ : la première et la deuxième bille sont rouges. - $U \cap \overline{D}$ : la première bille est rouge et la deuxième est bleue. --- **Résumé final** : - $P_U(D) = \frac{5}{9}$ - $P_U(\overline{D}) = \frac{4}{9}$ - $P(U \cap D) = \frac{1}{3}$ - $P(U \cap \overline{D}) = \frac{4}{15}$