1. **Développement en série entière de $f(x) = \ln(1 + x - 2x^2)$ au voisinage de 0** La fonction logarithme népérien $\ln(1+u)$ peut se développer en série entière autour de 0 comme suit : $$\ln(1+u) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{u^k}{k} = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$$ Ici, on pose $u = x - 2x^2$. Calculons les premiers termes : $$u = x - 2x^2$$ $$u^2 = (x - 2x^2)^2 = x^2 - 4x^3 + 4x^4$$ $$u^3 = (x - 2x^2)^3 = x^3 - 6x^4 + \cdots$$ (termes d'ordre supérieur négligés) On remplace dans la série : $$f(x) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + \cdots = (x - 2x^2) - \frac{x^2 - 4x^3 + 4x^4}{2} + \frac{x^3 - 6x^4}{3} + \cdots$$ Développons et simplifions : $$= x - 2x^2 - \frac{x^2}{2} + 2x^3 - 2x^4 + \frac{x^3}{3} - 2x^4 + \cdots$$ Regroupons par puissances de $x$ : - Coefficient de $x$ : $x$ - Coefficient de $x^2$ : $-2x^2 - \frac{x^2}{2} = -\frac{5}{2}x^2$ - Coefficient de $x^3$ : $2x^3 + \frac{x^3}{3} = \frac{7}{3}x^3$ - Coefficient de $x^4$ : $-2x^4 - 2x^4 = -4x^4$ Donc, la série entière au voisinage de 0 est : $$f(x) = x - \frac{5}{2}x^2 + \frac{7}{3}x^3 - 4x^4 + \cdots$$ --- 2. **Détermination de la fonction génératrice de $Y$ et de sa loi** Données : - $n = lm$ avec $l,m,n \in \mathbb{N}^*$ - $X$ suit une loi uniforme sur $[0, l-1]$ - $Z = X + Y$ suit une loi uniforme sur $[0, n-1]$ - $X$ et $Y$ sont indépendantes La fonction génératrice de probabilité (FGP) d'une variable aléatoire discrète $W$ est définie par : $$G_W(t) = E(t^W) = \sum_{k} P(W=k) t^k$$ Pour $X$ uniforme sur $[0, l-1]$ : $$P(X=k) = \frac{1}{l}, \quad k=0, \ldots, l-1$$ Donc : $$G_X(t) = \sum_{k=0}^{l-1} \frac{1}{l} t^k = \frac{1}{l} \frac{1 - t^l}{1 - t}$$ Pour $Z$ uniforme sur $[0, n-1]$ : $$P(Z=k) = \frac{1}{n}, \quad k=0, \ldots, n-1$$ Donc : $$G_Z(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} t^k = \frac{1}{n} \frac{1 - t^n}{1 - t}$$ Comme $Z = X + Y$ et $X$, $Y$ indépendantes, on a : $$G_Z(t) = G_X(t) G_Y(t)$$ D'où : $$G_Y(t) = \frac{G_Z(t)}{G_X(t)} = \frac{\frac{1}{n} \frac{1 - t^n}{1 - t}}{\frac{1}{l} \frac{1 - t^l}{1 - t}} = \frac{l}{n} \frac{1 - t^n}{1 - t^l} = \frac{1}{m} \frac{1 - t^{lm}}{1 - t^l}$$ On reconnaît la somme géométrique : $$\frac{1 - t^{lm}}{1 - t^l} = 1 + t^l + t^{2l} + \cdots + t^{(m-1)l}$$ Donc : $$G_Y(t) = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} t^{jl}$$ Cela signifie que $Y$ est uniforme sur $\{0, l, 2l, \ldots, (m-1)l\}$. --- 3. **Justification de l'existence des dérivées partielles de $f(x,y) = e^x \cos y$** La fonction $f$ est composée de fonctions élémentaires : - $e^x$ est infiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ - $\cos y$ est infiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ La fonction $f$ est le produit de deux fonctions différentiables en $x$ et $y$ respectivement. Les dérivées partielles sont : $$\frac{\partial f}{\partial x} = e^x \cos y$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = e^x (-\sin y)$$ Ces dérivées existent et sont continues partout sur $\mathbb{R}^2$, donc elles existent. --- **Résumé final :** - Série entière de $f(x)$ : $$f(x) = x - \frac{5}{2}x^2 + \frac{7}{3}x^3 - 4x^4 + \cdots$$ - Fonction génératrice de $Y$ : $$G_Y(t) = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} t^{jl}$$ - $Y$ suit une loi uniforme sur $\{0, l, 2l, \ldots, (m-1)l\}$ - Dérivées partielles de $f(x,y)$ existent et sont données par : $$\frac{\partial f}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^x \sin y$$