1. **Énoncé du problème :** Calculer la probabilité qu'un malade ait attendu exactement un jour avant la consultation médicale sachant qu'il n'a pas été guéri dans la semaine suivant l'apparition des symptômes. 2. **Formule utilisée :** On modélise le temps d'attente avant consultation par une variable géométrique de paramètre $p$. La probabilité d'attendre exactement $k$ jours est donnée par : $$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$$ 3. **Calcul de la probabilité :** Ici, on cherche $P(X=1)$, donc : $$P(X=1) = (1-p)^{1-1} p = p$$ 4. **Interprétation :** La probabilité qu'un malade ait attendu exactement un jour avant la consultation est simplement $p$. 5. **Arrondi :** Le résultat doit être arrondi au millième. **Remarque :** Le problème ne donne pas explicitement la valeur de $p$, donc on suppose que $p$ est connu ou donné dans l'énoncé complet. --- **Exercice 3 :** 1.a. Calcul de $u_1$ : $$u_1 = u_0 \times 1{,}12 = 300 \times 1{,}12 = 336$$ 1.b. Expression de $u_n$ en fonction de $n$ : $$u_n = u_0 \times 1{,}12^n = 300 \times 1{,}12^n$$ 1.c. Estimation pour 2025 (soit $n=10$) : $$u_{10} = 300 \times 1{,}12^{10}$$ Calculons $1{,}12^{10}$ : $$1{,}12^{10} \approx 3{,}10585$$ Donc : $$u_{10} \approx 300 \times 3{,}10585 = 931{,}755$$ Arrondi à l'entier : $$u_{10} \approx 932$$ 2.a. Interprétation de $S_5$ : $$S_5 = \sum_{k=0}^5 u_k$$ C'est la somme des nouveaux cas de 2015 à 2020, donc le nombre total de nouveaux cas sur ces 6 années. 2.b. Estimation du nombre total de personnes ayant contracté la maladie jusqu'à fin 2025 : $$S_{10} = \sum_{k=0}^{10} u_k$$ La somme d'une suite géométrique est : $$S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$ Ici, $q=1{,}12$, $u_0=300$, $n=10$ : $$S_{10} = 300 \times \frac{1 - 1{,}12^{11}}{1 - 1{,}12}$$ Calculons $1{,}12^{11}$ : $$1{,}12^{11} = 1{,}12^{10} \times 1{,}12 \approx 3{,}10585 \times 1{,}12 = 3{,}47856$$ Donc : $$S_{10} = 300 \times \frac{1 - 3{,}47856}{1 - 1{,}12} = 300 \times \frac{-2{,}47856}{-0{,}12} = 300 \times 20{,}6547 = 6196{,}41$$ Arrondi à l'entier : $$S_{10} \approx 6196$$