1. **Problème 1 : Nombre de permutations des lettres** On considère les mots « SUCCESS » et « BOOKKEEPER ». Formule pour le nombre de permutations de $n$ objets avec répétitions : $$\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \cdots}$$ - $n$ est le nombre total de lettres. - $n_1, n_2, \ldots$ sont les nombres de répétitions de chaque lettre. Pour « SUCCESS » (7 lettres) : - S apparaît 3 fois - C apparaît 2 fois - U et E apparaissent 1 fois chacun Calcul : $$\frac{7!}{3! \times 2! \times 1! \times 1!} = \frac{5040}{6 \times 2} = \frac{5040}{12} = 420$$ Pour « BOOKKEEPER » (10 lettres) : - O apparaît 2 fois - K apparaît 2 fois - E apparaît 3 fois - B, P, R apparaissent 1 fois chacun Calcul : $$\frac{10!}{2! \times 2! \times 3! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{3628800}{2 \times 2 \times 6} = \frac{3628800}{24} = 151200$$ 2. **Problème 2 : Nombre total d'étudiants** Données : - Latin : 16 - Théâtre : 14 - Les deux : 5 - Aucun : 8 Formule pour l'union de deux ensembles : $$|L \cup T| = |L| + |T| - |L \cap T|$$ Calcul du nombre total d'étudiants : $$|L \cup T| + \text{aucun} = (16 + 14 - 5) + 8 = 25 + 8 = 33$$ 3. **Problème 3 : Probabilités avec un dé** Événements : - $A$: nombre impair - $B$: résultat < 6 - $C$: nombre pair Nombres sur un dé : 1, 2, 3, 4, 5, 6 - $A \cap B$ : nombres impairs < 6 = {1, 3, 5} donc 3 cas - $B$ : nombres < 6 = {1, 2, 3, 4, 5} donc 5 cas Probabilité d'obtenir un impair sachant < 6 : $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/6}{5/6} = \frac{3}{5} = 0.6$$ - $C \cap B$ : nombres pairs < 6 = {2, 4} donc 2 cas Probabilité d'obtenir un pair sachant < 6 : $$P(C|B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{2/6}{5/6} = \frac{2}{5} = 0.4$$ 4. **Problème 4 : Probabilité panne composant B** Données : - $P(A) = 0.20$ - $P(B|A) = 0.80$ - $P(B|A^c) = 0.40$ Formule de probabilité totale : $$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)$$ Calcul : $$P(B) = 0.80 \times 0.20 + 0.40 \times (1 - 0.20) = 0.16 + 0.32 = 0.48$$ 5. **Problème 5 : Probabilité qu'une pièce défectueuse vienne de M2** Données : - Production : $N_1=1000$, $N_2=2000$, $N_3=3000$ - Défaut : $P(D|M_1)=0.07$, $P(D|M_2)=0.08$, $P(D|M_3)=0.10$ Total production : $$N = 1000 + 2000 + 3000 = 6000$$ Probabilité qu'une pièce vienne de chaque machine : $$P(M_1) = \frac{1000}{6000} = \frac{1}{6}, \quad P(M_2) = \frac{2000}{6000} = \frac{1}{3}, \quad P(M_3) = \frac{3000}{6000} = \frac{1}{2}$$ Probabilité qu'une pièce soit défectueuse : $$P(D) = P(D|M_1)P(M_1) + P(D|M_2)P(M_2) + P(D|M_3)P(M_3)$$ $$= 0.07 \times \frac{1}{6} + 0.08 \times \frac{1}{3} + 0.10 \times \frac{1}{2} = 0.0117 + 0.0267 + 0.05 = 0.0884$$ Probabilité qu'une pièce défectueuse vienne de M2 (formule de Bayes) : $$P(M_2|D) = \frac{P(D|M_2)P(M_2)}{P(D)} = \frac{0.08 \times \frac{1}{3}}{0.0884} = \frac{0.0267}{0.0884} \approx 0.302$$ 6. **Problème 6 : Test grippe aviaire** Données : - $P(I) = 0.10$ (infecté) - $P(T^+|I^c) = 0.02$ (faux positif) - $P(T^-|I) = 0.01$ (faux négatif) Donc : - $P(I^c) = 0.90$ - $P(T^+|I) = 1 - 0.01 = 0.99$ - $P(T^-|I^c) = 1 - 0.02 = 0.98$ (a) Probabilité que le poulet ne soit pas infecté sachant que le test est positif : $$P(I^c|T^+) = \frac{P(T^+|I^c)P(I^c)}{P(T^+)}$$ Calcul de $P(T^+)$ : $$P(T^+) = P(T^+|I)P(I) + P(T^+|I^c)P(I^c) = 0.99 \times 0.10 + 0.02 \times 0.90 = 0.099 + 0.018 = 0.117$$ Donc : $$P(I^c|T^+) = \frac{0.02 \times 0.90}{0.117} = \frac{0.018}{0.117} \approx 0.154$$ (b) Probabilité que le test ne soit pas positif : $$P(T^-) = 1 - P(T^+) = 1 - 0.117 = 0.883$$