1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions quadratiques : $$f(x) = x^2 - 3x + 2$$ $$g(x) = 3x^2 + 4x + 1$$ Nous devons étudier leurs variations, trouver leurs minima, montrer que la suite des probabilités est géométrique, déterminer la loi de $Z_n = \min_{x \in \mathbb{R}} Y_n(x)$, et enfin trouver pour quels $n$ la probabilité $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3})$ est supérieure à $e^{-10}$. 2. **Variations de $f$ et $g$ :** - Pour une fonction quadratique $ax^2 + bx + c$ avec $a > 0$, la fonction est convexe et décroissante avant le sommet, croissante après. - Le sommet est en $x = -\frac{b}{2a}$. Calculons pour $f$ : $$a=1, b=-3$$ $$x_f = -\frac{-3}{2 \times 1} = \frac{3}{2} = 1.5$$ La dérivée $f'(x) = 2x - 3$ est négative pour $x < 1.5$ (fonction décroissante) et positive pour $x > 1.5$ (fonction croissante). Pour $g$ : $$a=3, b=4$$ $$x_g = -\frac{4}{2 \times 3} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \approx -0.6667$$ La dérivée $g'(x) = 6x + 4$ est négative pour $x < -\frac{2}{3}$ (fonction décroissante) et positive pour $x > -\frac{2}{3}$ (fonction croissante). 3. **Minima de $f$ et $g$ :** Le minimum d'une fonction quadratique $ax^2 + bx + c$ est : $$f(x_{min}) = c - \frac{b^2}{4a}$$ Calculons : Pour $f$ : $$f(1.5) = (1.5)^2 - 3 \times 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$$ Pour $g$ : $$g(-\frac{2}{3}) = 3 \times \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \times \left(-\frac{2}{3}\right) + 1 = 3 \times \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 1 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{1}{3}$$ 4. **Montrer que la suite $(\mathbb{P}(Y_n(x) = g(x)))_n$ est géométrique :** Par définition : $$\mathbb{P}(Y_n(x) = g(x)) = e^{-n}$$ La suite est donc : $$p_n = e^{-n} = (e^{-1})^n$$ C'est une suite géométrique de raison $q = e^{-1}$. 5. **Loi de $Z_n = \min_{x \in \mathbb{R}} Y_n(x)$ :** Puisque $Y_n(x)$ prend la valeur $f(x)$ avec probabilité $1 - e^{-n}$ et $g(x)$ avec probabilité $e^{-n}$, et que $Z_n$ est le minimum sur $x$ de $Y_n(x)$, on a : $$Z_n = \min(\min_x f(x), \min_x g(x))$$ Les minima sont : $$\min_x f(x) = -0.25$$ $$\min_x g(x) = -\frac{1}{3} \approx -0.3333$$ Donc : - $Z_n = -\frac{1}{3}$ si $Y_n(x) = g(x)$ (car $-\frac{1}{3} < -0.25$) - $Z_n = -0.25$ sinon La loi de $Z_n$ est donc : $$\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) = e^{-n}$$ $$\mathbb{P}(Z_n = -0.25) = 1 - e^{-n}$$ 6. **Pour quel $n$ a-t-on $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) > e^{-10}$ ?** On cherche $n$ tel que : $$e^{-n} > e^{-10}$$ En prenant le logarithme népérien : $$-n > -10 \implies n < 10$$ Donc pour tout $n \in \mathbb{N}$ strictement inférieur à 10, la probabilité est supérieure à $e^{-10}$. --- **Résumé final :** - Variations : $f$ décroissante sur $]-\infty, 1.5]$, croissante après ; $g$ décroissante sur $]-\infty, -\frac{2}{3}]$, croissante après. - Minima : $f(1.5) = -0.25$, $g(-\frac{2}{3}) = -\frac{1}{3}$. - $(\mathbb{P}(Y_n(x) = g(x)))_n$ est géométrique de raison $e^{-1}$. - Loi de $Z_n$ : $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) = e^{-n}$, $\mathbb{P}(Z_n = -0.25) = 1 - e^{-n}$. - $\mathbb{P}(Z_n = -\frac{1}{3}) > e^{-10}$ pour $n < 10$.