1. **Énoncé du problème :** Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,15$. Nous allons répondre à la question 1 : Combien de chemins donnent exactement 4 succès ? 2. **Formule utilisée :** Le nombre de chemins donnant exactement $k$ succès dans une loi binomiale est donné par le coefficient binomial $\binom{n}{k}$. 3. **Calcul du nombre de chemins pour 4 succès :** $$ \binom{40}{4} = \frac{40!}{4! \times (40-4)!} = \frac{40!}{4! \times 36!} $$ 4. **Calcul détaillé :** $$ \binom{40}{4} = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37}{4 \times 3 \times 2 \times 1} $$ 5. **Simplification :** $$ = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37}{24} $$ 6. **Calcul numérique :** $$ 40 \times 39 = 1560 $$ $$ 1560 \times 38 = 59280 $$ $$ 59280 \times 37 = 2193360 $$ $$ \frac{2193360}{24} = 91390 $$ 7. **Réponse finale :** Le nombre de chemins donnant exactement 4 succès est **91390**.