1. **Énoncé du problème :** On considère un échantillon de 15 tomates prises au hasard dans un stock où 9 % des tomates ne sont pas commercialisables. 2. **Paramètres de la loi binomiale :** La variable aléatoire $X$ représente le nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon. - Le nombre d'essais est $n=15$. - La probabilité de succès (tomate non commercialisable) est $p=0{,}09$. Donc, $X \sim \mathcal{B}(15, 0{,}09)$. 3. **Calcul de la probabilité que exactement deux tomates soient non commercialisables :** La formule de la loi binomiale est : $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Pour $k=2$ : $$P(X=2) = \binom{15}{2} (0{,}09)^2 (0{,}91)^{13}$$ Calculons : $$\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2} = 105$$ Donc : $$P(X=2) = 105 \times (0{,}09)^2 \times (0{,}91)^{13}$$ Valeur approchée : $$P(X=2) \approx 105 \times 0{,}0081 \times 0{,}302 = 0{,}256$$ Arrondi au millième : $0{,}256$. 4. **Calcul de la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables :** $$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$ Calculons chaque terme : - $P(X=0) = \binom{15}{0} (0{,}09)^0 (0{,}91)^{15} = 1 \times 1 \times 0{,}91^{15} \approx 0{,}228$. - $P(X=1) = \binom{15}{1} (0{,}09)^1 (0{,}91)^{14} = 15 \times 0{,}09 \times 0{,}91^{14} \approx 15 \times 0{,}09 \times 0{,}332 = 0{,}448$. On a déjà $P(X=2) \approx 0{,}256$. Donc : $$P(X \leq 2) \approx 0{,}228 + 0{,}448 + 0{,}256 = 0{,}932$$ Arrondi au millième : $0{,}932$. 5. **Espérance et variance de la fréquence $F_n$ :** On considère un échantillon de taille $n$ avec $X_n \sim \mathcal{B}(n, 0{,}09)$ et $F_n = \frac{X_n}{n}$. - Espérance : $$E(F_n) = E\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{1}{n} E(X_n) = \frac{1}{n} \times n \times 0{,}09 = 0{,}09$$ - Variance : $$V(F_n) = V\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} V(X_n) = \frac{1}{n^2} \times n \times 0{,}09 \times (1 - 0{,}09) = \frac{0{,}09 \times 0{,}91}{n} = \frac{0{,}0819}{n}$$ 6. **Inégalité de concentration :** On admet que : $$P(0{,}04 < F_n < 0{,}14) \geq 1 - \frac{32{,}76}{n}$$ Cette inégalité montre que la fréquence $F_n$ est très probablement proche de l'espérance $0{,}09$ lorsque $n$ est grand. 7. **Interprétation pour un échantillon de 500 tomates :** - Nombre attendu de tomates non commercialisables : $$E(X_{500}) = 500 \times 0{,}09 = 45$$ - Observé : 55 tomates non commercialisables. - Fréquence observée : $$F_{500} = \frac{55}{500} = 0{,}11$$ - Vérifions si $0{,}11$ est dans l'intervalle $]0{,}04; 0{,}14[$ : oui. - Calcul de la borne : $$1 - \frac{32{,}76}{500} = 1 - 0{,}06552 = 0{,}93448$$ Donc, avec une probabilité d'au moins 93,4 %, la fréquence est dans cet intervalle. **Conclusion :** La fréquence observée $0{,}11$ est conforme à ce qu'on pouvait attendre.